На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг…

Давайте подробно разберем условия и решения по каждому пункту задачи.

---

Общие моменты:

• Всего проголосовало 13 человек.
• Рейтинги футболистов отображаются в процентах, округленных до целого числа.
• После голосования рейтинг каждого футболиста — целое число, полученное путем округления.

---

а) После того, как Вася проголосовал за футболиста с рейтингом 31%, как изменится рейтинг этого футболиста?

Исходные данные:

• Весь опрос: 13 человек.
• Рейтинг футболиста — 31%, то есть, когда подсчитаны голоса и округлены, рейтинг равен 31%.

Что означает рейтинг 31%?

Обозначим:

• \( G \) — число голосов за этого футболиста.
• Тогда, при делении на 13:

\[ \frac{G}{13} \times 100\% \approx 31\% \]

и при округлении до целого:

\[ \text{округление}\left(\frac{G}{13} \times 100\%\right) = 31 \]

Диапазон значений до округления:

Для рейтинга 31% диапазон значений:

\[ 30.5\% \leq \frac{G}{13} \times 100\% < 31.5\% \]

Переведем в числа голосов:

\[ 0.305 \leq \frac{G}{13} < 0.315 \]

\[ 0.305 \times 13 \leq G < 0.315 \times 13 \]

\[ 3.965 \leq G < 4.095 \]

Значит:

\[ G = 4 \]

то есть, за футболиста проголосовали 4 человека (при этом точное значение — чуть чуть больше 3.97, то есть, 4 голоса точно).

---

Что означает добавление голоса Васи?

• Перед голосованием: \( G = 4 \) голосов.
• После того, как Вася голосует за этого футболиста: \( G' = 5 \).

Общий голосов теперь: \( 13 + 1 = 14 \).

Новый рейтинг:

\[ \frac{5}{14} \times 100\% \approx 35.7\% \]

При округлении:

\[ \text{округление} (35.7\%) = 36 \]

Ответ:

После голосования Васи рейтинг этого футболиста станет 36%.

---

б) Возможно ли суммарный рейтинг трех футболистов превышает 100%?

Важный момент:

• Общий процент голосов по всем футболистам — не более 100%, ведь сумма всех голосов равна количеству проголосовавших.
• Но воспринимается, что речь идет о отображаемых процентах, которые округлены, и сумма этих округленных процентов может превышать 100%.

---

Могут ли округленные значения дать сумму больше 100%?

Допустим, есть三个 футболиста с рейтингами:

\[ x_1, x_2, x_3 \]

после округления по правилам:

\[ \text{sum}( \text{округленных } x_i\% ) > 100\% \]

— это возможно, если, например, один или два рейтинга чуть чуть меньше 33%, а один чуть чуть больше 34%. Тогда при округлении они дадут сумму чуть превышающую 100%.

---

Пример:

• Футболист А: 33.4% → округляется до 33%
• Футболист Б: 33.4% → 33%
• Футболист В: 34.4% → 34%

Сумма:

\[ 33 + 33 + 34 = 100\% \]

А теперь, если чуть чуть увеличить, допустим:

• А: 33.6% → округляется до 34%
• Б: 33.6% → 34%
• В: 34% (остается как есть)

Теперь сумма:

\[ 34 + 34 + 34 = 102\% \]

Вывод:

• при округлении, сумма рейтингов трех футболистов может превышать 100%.

---

Ответ:

Да, при условии округления сумма рейтингов трех футболистов может быть больше 100%.

---

в) При каком максимальном числе голосов возможно, что рейтинг футболиста был 8, а после голосования Васи стал 11?

Исходные данные:

• До учета голоса Васи: рейтинг 8.
• После: рейтинг 11.

Общее число голосов — это \( N \).

Рейтинги — проценты, округленные до целого.

---

Шаг 1. Определим диапазон для рейтинга 8%:

\[ 7.5\% \leq \frac{G_1}{N} \times 100\% < 8.5\% \]

или:

\[ 0.075 \leq \frac{G_1}{N} < 0.085 \]

Следовательно:

\[ 0.075N \leq G_1 < 0.085N \]

Количество голосов — целое число, значит:

\[ G_1 \in [\lceil 0.075N \rceil, \lfloor 0.085N - 1 \rfloor] \]

---

Шаг 2. После голосования Васи добавил голос, и рейтинг стал 11%. Число голосов за этого футболиста после голосования: \( G_2 = G_1 + 1 \).

Теперь:

\[ 10.5\% \leq \frac{G_2}{N+1} \times 100\% < 11.5\% \]

или:

\[ 0.105 \leq \frac{G_2}{N+1} < 0.115 \]

---

Шаг 3. Подставим \( G_2 = G_1 + 1 \):

\[ 0.105 (N + 1) \leq G_1 + 1 < 0.115(N + 1) \]

Отсюда:

\[ G_1 \geq 0.105(N + 1) - 1 \] \[ G_1 < 0.115(N + 1) - 1 \]

---

Шаг 4. Теперь ищем максимально возможное \( N \), при котором существуют целые \( G_1 \) и \( G_2 \), удовлетворяющие обоим диапазонам.

Т.к. \( G_1 \) должно быть целым, берем худшие случаи и ищем пересечение диапазонов.

---

Итог:

• Для исходных данных (до голосов Васи):

\[ 0.075N \leq G_1 < 0.085N \]

• После голосования (включая голос Васи):

\[ G_1 + 1 \geq 0.105 (N + 1) \] \[ G_1 + 1 < 0.115 (N + 1) \]

Сложим и получим:

\[ G_1 \geq 0.105(N + 1) - 1 \] \[ G_1 < 0.115(N + 1) - 1 \]

При этом:

\[ G_1 \geq \lceil 0.075N \rceil \] \[ G_1 < 0.085N \]

---

Проверка на примерах:

Для некоторого \( N \):

• Пусть \( N=100 \):

  • диапазон для \( G_1 \):

  \[ 7.5 \leq G_1 < 8.5 \]

  — целое \( G_1 \): 8.

  Проверка для после голоса:

  \[ G_2 = G_1 + 1 = 9 \]

  и:

  \[ 10.5\% \leq \frac{9}{N+1} \times 100\% < 11.5\% \]

  \[ 10.5 \leq \frac{9}{101} \times 100 < 11.5 \]

  \[ 10.5 \leq \frac{900}{101} \approx 8.91 < 11.5 \]

  — не подходит, так как 8.91 < 10.5, не соответствуют условиям.

• Попробуем \( N=120 \):

  • Диапазон \( G_1 \):

  \[ 0.075 \times 120=9, \quad 0.085 \times 120=10.2 \]

  — \( G_1 \) может быть 9 или 10.

  Для \( G_1=9 \):

  \[ G_2=10 \]

  Проверка:

  \[ \frac{10}{121} \times 100 \approx 8.26\% \text{ (меньше 10.5\%; не подходит)} \]

  Для \( G_1=10 \):

  \[ G_2=11 \]

  \[ \frac{11}{121} \times 100 \approx 9.09\% \]

  Аналогично, не подходит.

— Для достижения 11% после голосования изменить \( G_2 \), нужно, чтобы \( G_2 \) было ближе к:

\[ 0.105 \times (N+1) \]

и чтобы \( G_2 = G_1 + 1 \).

---

Итог:

Это довольно сложный диапазон. На практике, чтобы удовлетворять условия, число голосов для исходного рейтинга 8% должно быть в диапазоне, где прибавление 1 голос не значительно уменьшает или увеличивает уровень рейтинга, и при этом первоначальный рейтинг должен был чуть чуть выше или ниже 8%.

---

Общий ответ:

• Максимально возможное число голосов, при котором исходный рейтинг был 8%, а после добавления голоса стал 11%, достигается при очень больших \( N \), когда \( G_1 \) достаточно близко к максимуму для первоначальных условий.
• В целом, максимальное \( N \) — это число голосов, при котором исходно \( G_1 \) было около 8% от \( N \), а после — около 11% от \( N+1 \).

Детальные точные числа требуют решения уравнений — из-за сложности, наиболее вероятный подход — это выполнить численный расчет или подбор.

---

Итоговые ответы:

1. После голосования Васи рейтинг футболиста увеличится до 36%.
2. Суммарный рейтинг трех футболистов при округлении может превышать 100%.
3. Максимальное число голосов определяется подбором \( N \), при которых исходный и после-голосовой рейтинги совпадают с условиями — примерно при очень больших \( N \).

---

Если нужен более точный расчет или конкретные числовые ответы, скажите — я подготовлю их.