На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста-доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3,10,5 и 12,7округляются до 9,11 и 13 соответственно. а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31.Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи? б) Голоса распределяют между тремя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100? в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 8. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста рейтинг стал равен 11.При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Давайте подробно разберем условия и решения по каждому пункту задачи. --- ### Общие моменты: - Всего проголосовало 13 человек. - Рейтинги футболистов отображаются в процентах, округленных до целого числа. - После голосования рейтинг каждого футболиста — целое число, полученное путем округления. --- ## а) После того, как Вася проголосовал за футболиста с рейтингом 31%, как изменится рейтинг этого футболиста? ### Исходные данные: - Весь опрос: 13 человек. - Рейтинг футболиста — 31%, то есть, когда подсчитаны голоса и округлены, рейтинг равен 31%. ### Что означает рейтинг 31%? Обозначим: - \( G \) — число голосов за этого футболиста. - Тогда, при делении на 13: \[ \frac{G}{13} \times 100\% \approx 31\% \] и при округлении до целого: \[ \text{округление}\left(\frac{G}{13} \times 100\%\right) = 31 \] ### Диапазон значений до округления: Для рейтинга 31% диапазон значений: \[ 30.5\% \leq \frac{G}{13} \times 100\% < 31.5\% \] Переведем в числа голосов: \[ 0.305 \leq \frac{G}{13} < 0.315 \] \[ 0.305 \times 13 \leq G < 0.315 \times 13 \] \[ 3.965 \leq G < 4.095 \] Значит: \[ G = 4 \] то есть, за футболиста проголосовали **4 человека** (при этом точное значение — чуть чуть больше 3.97, то есть, 4 голоса точно). --- ### Что означает добавление голоса Васи? - Перед голосованием: \( G = 4 \) голосов. - После того, как Вася голосует за этого футболиста: \( G' = 5 \). Общий голосов теперь: \( 13 + 1 = 14 \). Новый рейтинг: \[ \frac{5}{14} \times 100\% \approx 35.7\% \] При округлении: \[ \text{округление} (35.7\%) = 36 \] ### **Ответ:** После голосования Васи рейтинг этого футболиста станет 36%. --- ## б) Возможно ли суммарный рейтинг трех футболистов превышает 100%? ### Важный момент: - Общий процент голосов по всем футболистам — не более 100%, ведь сумма всех голосов равна количеству проголосовавших. - Но воспринимается, что речь идет о **отображаемых процентах**, которые округлены, и сумма этих округленных процентов может превышать 100%. --- ### Могут ли округленные значения дать сумму больше 100%? Допустим, есть三个 футболиста с рейтингами: \[ x_1, x_2, x_3 \] после округления по правилам: \[ \text{sum}( \text{округленных } x_i\% ) > 100\% \] — это возможно, если, например, один или два рейтинга чуть чуть меньше 33%, а один чуть чуть больше 34%. Тогда при округлении они дадут сумму чуть превышающую 100%. --- ### Пример: - Футболист А: 33.4% → округляется до 33% - Футболист Б: 33.4% → 33% - Футболист В: 34.4% → 34% Сумма: \[ 33 + 33 + 34 = 100\% \] А теперь, если чуть чуть увеличить, допустим: - А: 33.6% → округляется до 34% - Б: 33.6% → 34% - В: 34% (остается как есть) Теперь сумма: \[ 34 + 34 + 34 = 102\% \] **Вывод:** - при округлении, сумма рейтингов трех футболистов может превышать 100%. --- ### **Ответ:** Да, при условии округления сумма рейтингов трех футболистов может быть больше 100%. --- ## в) При каком максимальном числе голосов возможно, что рейтинг футболиста был 8, а после голосования Васи стал 11? ### Исходные данные: - До учета голоса Васи: рейтинг 8. - После: рейтинг 11. Общее число голосов — это \( N \). Рейтинги — проценты, округленные до целого. --- ### Шаг 1. Определим диапазон для рейтинга 8%: \[ 7.5\% \leq \frac{G_1}{N} \times 100\% < 8.5\% \] или: \[ 0.075 \leq \frac{G_1}{N} < 0.085 \] Следовательно: \[ 0.075N \leq G_1 < 0.085N \] Количество голосов — целое число, значит: \[ G_1 \in [\lceil 0.075N \rceil, \lfloor 0.085N - 1 \rfloor] \] --- ### Шаг 2. После голосования Васи добавил голос, и рейтинг стал 11%. Число голосов за этого футболиста после голосования: \( G_2 = G_1 + 1 \). Теперь: \[ 10.5\% \leq \frac{G_2}{N+1} \times 100\% < 11.5\% \] или: \[ 0.105 \leq \frac{G_2}{N+1} < 0.115 \] --- ### Шаг 3. Подставим \( G_2 = G_1 + 1 \): \[ 0.105 (N + 1) \leq G_1 + 1 < 0.115(N + 1) \] Отсюда: \[ G_1 \geq 0.105(N + 1) - 1 \] \[ G_1 < 0.115(N + 1) - 1 \] --- ### Шаг 4. Теперь ищем максимально возможное \( N \), при котором существуют целые \( G_1 \) и \( G_2 \), удовлетворяющие обоим диапазонам. Т.к. \( G_1 \) должно быть целым, берем худшие случаи и ищем пересечение диапазонов. --- ### Итог: - Для исходных данных (до голосов Васи): \[ 0.075N \leq G_1 < 0.085N \] - После голосования (включая голос Васи): \[ G_1 + 1 \geq 0.105 (N + 1) \] \[ G_1 + 1 < 0.115 (N + 1) \] Сложим и получим: \[ G_1 \geq 0.105(N + 1) - 1 \] \[ G_1 < 0.115(N + 1) - 1 \] При этом: \[ G_1 \geq \lceil 0.075N \rceil \] \[ G_1 < 0.085N \] --- ### Проверка на примерах: Для некоторого \( N \): - Пусть \( N=100 \): - диапазон для \( G_1 \): \[ 7.5 \leq G_1 < 8.5 \] — целое \( G_1 \): 8. Проверка для после голоса: \[ G_2 = G_1 + 1 = 9 \] и: \[ 10.5\% \leq \frac{9}{N+1} \times 100\% < 11.5\% \] \[ 10.5 \leq \frac{9}{101} \times 100 < 11.5 \] \[ 10.5 \leq \frac{900}{101} \approx 8.91 < 11.5 \] — **не подходит**, так как 8.91 < 10.5, не соответствуют условиям. - Попробуем \( N=120 \): - Диапазон \( G_1 \): \[ 0.075 \times 120=9, \quad 0.085 \times 120=10.2 \] — \( G_1 \) может быть 9 или 10. Для \( G_1=9 \): \[ G_2=10 \] Проверка: \[ \frac{10}{121} \times 100 \approx 8.26\% \text{ (меньше 10.5\%; не подходит)} \] Для \( G_1=10 \): \[ G_2=11 \] \[ \frac{11}{121} \times 100 \approx 9.09\% \] Аналогично, не подходит. — Для достижения 11% после голосования изменить \( G_2 \), нужно, чтобы \( G_2 \) было ближе к: \[ 0.105 \times (N+1) \] и чтобы \( G_2 = G_1 + 1 \). --- ### Итог: Это довольно сложный диапазон. На практике, чтобы удовлетворять условия, число голосов для исходного рейтинга 8% должно быть в диапазоне, где прибавление 1 голос не значительно уменьшает или увеличивает уровень рейтинга, и при этом первоначальный рейтинг должен был чуть чуть выше или ниже 8%. --- ### **Общий ответ:** - Максимально возможное число голосов, при котором исходный рейтинг был 8%, а после добавления голоса стал 11%, достигается при очень больших \( N \), когда \( G_1 \) достаточно близко к максимуму для первоначальных условий. - В целом, максимальное \( N \) — это число голосов, при котором исходно \( G_1 \) было около 8% от \( N \), а после — около 11% от \( N+1 \). Детальные точные числа требуют решения уравнений — из-за сложности, наиболее вероятный подход — это выполнить численный расчет или подбор. --- ## Итоговые ответы: 1. После голосования Васи рейтинг футболиста увеличится до **36%**. 2. Суммарный рейтинг трех футболистов при округлении может превышать **100%**. 3. Максимальное число голосов определяется подбором \( N \), при которых исходный и после-голосовой рейтинги совпадают с условиями — примерно при очень больших \( N \). --- Если нужен более точный расчет или конкретные числовые ответы, скажите — я подготовлю их.