Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Дуги окружности, на которые делят окружность точки A и В.
- Длины дуг делятся в отношении 4:5.
- Нужно найти величину центрального угла, опирающегося на большую дугу.
Шаг 1. Обозначения
Обозначим:
- Длину меньшей дуги как ( l_1 ),
- Длину большей дуги как ( l_2 ),
- Центровой угол, опирающийся на меньшую дугу — ( \alpha ),
- Центровой угол, опирающийся на большую дугу — ( \beta ).
Поскольку дуги делят окружность, их длины связаны соответственно с углами:
[
l_1 = R \cdot \alpha, \quad l_2 = R \cdot \beta,
]
где ( R ) — радиус окружности, а ( \alpha ), ( \beta ) — углы в радианах.
Шаг 2. Связь между дугами и их длинами
Обратите внимание, что сумма дуг составляет всю окружность:
[
l_1 + l_2 = 2 \pi R.
]
Также дано отношение длины дуг:
[
l_1 : l_2 = 4 : 5,
]
то есть
[
l_1 = 4k, \quad l_2 = 5k,
]
где ( k ) — какой-то коэффициент.
Из этого следует, что сумма дуг:
[
4k + 5k = 9k.
]
Следовательно,
[
l_1 + l_2 = 9k = 2 \pi R,
]
отсюда
[
k = \frac{2 \pi R}{9}.
]
Шаг 3. Определение углов ( \alpha ) и ( \beta )
Помним связь между дугами и углами:
[
l_1 = R \alpha,
]
[
l_2 = R \beta.
]
Подставляя значение дуг:
[
4k = R \alpha,
]
[
5k = R \beta.
]
Подставим значение ( k ):
[
4 \cdot \frac{2 \pi R}{9} = R \alpha,
]
[
\Rightarrow \alpha = \frac{4 \cdot 2 \pi R}{9 R} = \frac{8 \pi}{9}.
]
Аналогично для ( \beta ):
[
5 \cdot \frac{2 \pi R}{9} = R \beta,
]
[
\Rightarrow \beta = \frac{10 \pi}{9}.
]
Шаг 4. Величина искомого центрального угла
Центральный угол, опирающийся на большую дугу, равен ( \beta ):
[
\boxed{
\beta = \frac{10 \pi}{9} \text{ радиан}.
}
]
В градусах:
[
\beta = \frac{10 \pi}{9} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{10 \times 180^\circ}{9} = 200^\circ.
]
Ответ:
Центральный угол, опирающийся на большую дугу, равен (\boxed{\frac{10\pi}{9} \text{ радиан}}) или (200^\circ).
