Точки А и В делят окружность на две дуги.Найдите величину центрального угла опирающегося на большую из них если длины дуг относятся как 4:5
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Дуги окружности, на которые делят окружность точки A и В.
- Длины дуг делятся в отношении 4:5.
- Нужно найти величину центрального угла, опирающегося на большую дугу.
Шаг 1. Обозначения
Обозначим:
- Длину меньшей дуги как \( l_1 \),
- Длину большей дуги как \( l_2 \),
- Центровой угол, опирающийся на меньшую дугу — \( \alpha \),
- Центровой угол, опирающийся на большую дугу — \( \beta \).
Поскольку дуги делят окружность, их длины связаны соответственно с углами: \[ l_1 = R \cdot \alpha, \quad l_2 = R \cdot \beta, \] где \( R \) — радиус окружности, а \( \alpha \), \( \beta \) — углы в радианах.
Шаг 2. Связь между дугами и их длинами
Обратите внимание, что сумма дуг составляет всю окружность: \[ l_1 + l_2 = 2 \pi R. \]
Также дано отношение длины дуг: \[ l_1 : l_2 = 4 : 5, \] то есть \[ l_1 = 4k, \quad l_2 = 5k, \] где \( k \) — какой-то коэффициент.
Из этого следует, что сумма дуг: \[ 4k + 5k = 9k. \]
Следовательно, \[ l_1 + l_2 = 9k = 2 \pi R, \] отсюда \[ k = \frac{2 \pi R}{9}. \]
Шаг 3. Определение углов \( \alpha \) и \( \beta \)
Помним связь между дугами и углами: \[ l_1 = R \alpha, \] \[ l_2 = R \beta. \]
Подставляя значение дуг: \[ 4k = R \alpha, \] \[ 5k = R \beta. \]
Подставим значение \( k \): \[ 4 \cdot \frac{2 \pi R}{9} = R \alpha, \] \[ \Rightarrow \alpha = \frac{4 \cdot 2 \pi R}{9 R} = \frac{8 \pi}{9}. \]
Аналогично для \( \beta \): \[ 5 \cdot \frac{2 \pi R}{9} = R \beta, \] \[ \Rightarrow \beta = \frac{10 \pi}{9}. \]
Шаг 4. Величина искомого центрального угла
Центральный угол, опирающийся на большую дугу, равен \( \beta \): \[ \boxed{ \beta = \frac{10 \pi}{9} \text{ радиан}. } \]
В градусах: \[ \beta = \frac{10 \pi}{9} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{10 \times 180^\circ}{9} = 200^\circ. \]
Ответ:
Центральный угол, опирающийся на большую дугу, равен \(\boxed{\frac{10\pi}{9} \text{ радиан}}\) или \(200^\circ\).
