Для решения задачи необходимо найти скорость течения реки. Обозначим её через ( v_t ) км/ч.
Дано:
- Скорость теплохода в неподвижной воде: ( v_с = 16 ) км/ч.
- Расстояние между пунктами А и Б: 247 км.
- Время стоянки: 7 часов.
- Общее время возвращения в пункт А после отплытия из него: 39 часов.
Обозначим:
- Время движения от А до Б по течению: ( t_1 ).
- Время движения от Б до А против течения: ( t_2 ).
Общая схема:
- Время пути по течению (от А до Б): ( t_1 = \frac{247}{v_с + v_t} ).
- Время пути против течения (от Б до А): ( t_2 = \frac{247}{v_с - v_t} ).
Общий промежуток времени:
[ t_1 + t_2 + \text{стояние} + \text{стоянка} = 39 \text{ часов} ].
Здесь:
- Время стоянки — 7 часов.
- Общие пути: теплоход возвращается в А через 39 часов, и из них 7 часов — стоянка, то есть суммарное время в пути (включая оба направления) — ( 39 - 7 = 32 ) часа.
Значит:
[ t_1 + t_2 = 32 ].
Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{247}{v_с + v_t} + \frac{247}{v_с - v_t} = 32.
]
Подставим ( v_с = 16 ):
[
\frac{247}{16 + v_t} + \frac{247}{16 - v_t} = 32.
]
Объединим левую часть:
[
247 \left( \frac{1}{16 + v_t} + \frac{1}{16 - v_t} \right) = 32.
]
Находим сумму дробей:
[
\frac{(16 - v_t) + (16 + v_t)}{(16 + v_t)(16 - v_t)} = \frac{32}{(16)^2 - v_t^2}.
]
Подставляем это обратно:
[
247 \times \frac{32}{256 - v_t^2} = 32.
]
Упростим:
[
\frac{247 \times 32}{256 - v_t^2} = 32.
]
Делим обе части на 32:
[
\frac{247}{256 - v_t^2} = 1.
]
Значит:
[
247 = 256 - v_t^2.
]
Выражаем ( v_t^2 ):
[
v_t^2 = 256 - 247 = 9.
]
Следовательно:
[
v_t = \pm 3.
]
Так как скорость течения не может быть отрицательной по смыслу, выбираем:
[
v_t = 3 \text{ км/ч}.
]
Ответ:
[
\boxed{3}
]
Скорость течения реки — 3 км/ч.
