Рассмотрим задачу поэтапно и подытожим все известные данные:
- Расстояние между пристанями A и B: 144 км.
- Скорость течения реки: 4 км/ч.
- Плот отправился из A к B и проплыл 112 км за время, когда лодка уже совершила свой круговой рейс.
- Моторная лодка отправилась из A через час после плота.
- Лодка достигла B, повернула обратно и вернулась к A.
Цель: найти скорость лодки в неподвижной воде (обозначим её как ( v )).
Обозначения:
- скорость течения: ( v_t = 4 ) км/ч,
- скорость лодки в неподвижной воде: ( v ) км/ч,
- расстояние A–B: 144 км.
Итак:
- Плот: движется со скоростью по течению ( v_\text{плот} = v + v_t ),
- Лодка: движется со скоростью относительно воды ( v ), а по течению — ( v + v_t ), против течения — ( v - v_t ).
Шаг 1: Время, за которое плот прошёл 112 км
Обозначим ( t_\text{плот} ) — время, за которое плот проплыл 112 км:
[
t_\text{плот} = \frac{112}{v + 4}
]
Шаг 2: Время, за которое лодка достигла B
Лодка стартовала через час после плота, то есть, когда плот прошёл часть пути.
Обозначим:
- Время до достижения лодкой B — ( t_\text{лодка} ),
- Время, за которое лодка доходила до B и возвращалась — ( t_\text{обратной поездки} ).
Лодка отправилась из A через 1 час после плота и достигла B, повернула обратно сразу, и вернулась к A.
Шаг 3: Вычисление времени движения лодки
Пусть:
- Время, затраченное лодкой на путь из A в B (туда — ( t_{AB} )),
- Время, затраченное лодкой на обратный путь из B в A (обратно — ( t_{BA} )).
Тогда:
[
t_{AB} = \frac{144}{v + 4}
]
[
t_{BA} = \frac{144}{v - 4}
]
Лодка прошла туда за ( t_{AB} ), затем сразу повернула обратно и прошла обратно за ( t_{BA} ).
Общий путь лодки (туда и обратно):
[
t_\text{лодка} = t_{AB} + t_{BA} = \frac{144}{v + 4} + \frac{144}{v - 4}
]
Шаг 4: Условие по времени
Лодка начала свой путь через 1 час после плота.
Общий период, за который плот прошёл 112 км, — ( t_\text{плот} ).
Поскольку лодка стартовала через 1 час после плота, и лодка вернулась к A одновременно с тем, как плот закончил движение, то:
[
t_\text{лодка} = t_\text{плот} - 1
]
подставим:
[
\frac{144}{v + 4} + \frac{144}{v - 4} = \frac{112}{v + 4} - 1
]
Шаг 5: Решение уравнения
Перепишем уравнение:
[
\frac{144}{v + 4} + \frac{144}{v - 4} = \frac{112}{v + 4} - 1
]
Преобразуем левую часть, чтобы разложить:
[
\left(\frac{144}{v + 4} - \frac{112}{v + 4}\right) + \frac{144}{v - 4} = -1
]
[
\frac{32}{v + 4} + \frac{144}{v - 4} = -1
]
Теперь избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на ((v + 4)(v - 4)), которое равно ( v^2 - 16 ):
[
32(v - 4) + 144(v + 4) = - (v^2 - 16)
]
Раскроем скобки:
[
32v - 128 + 144v + 576 = - v^2 + 16
]
Объединим подобные:
[
(32v + 144v) + (-128 + 576) = - v^2 + 16
]
[
176v + 448 = - v^2 + 16
]
Перенесем все в одну сторону:
[
v^2 + 176v + (16 - 448) = 0
]
[
v^2 + 176v - 432 = 0
]
Шаг 6: Решение квадратичного уравнения
Общий вид: ( v^2 + 176v - 432 = 0 )
Используем дискриминант:
[
D = 176^2 - 4 \times 1 \times (-432) = 176^2 + 1728
]
Посчитаем:
[
176^2 = 30976
]
[
D = 30976 + 1728 = 32704
]
Найдем корни:
[
v = \frac{-176 \pm \sqrt{32704}}{2}
]
Вычислим (\sqrt{32704}):
[
\sqrt{32704} \approx 180.84
]
Тогда:
[
v_1 = \frac{-176 + 180.84}{2} = \frac{4.84}{2} \approx 2.42
]
[
v_2 = \frac{-176 - 180.84}{2} = \frac{-356.84}{2} = -178.42
]
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
\boxed{
v \approx 2.42 \text{ км/ч}
}
]
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде примерно 2.42 км/ч.
