Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
Трехзначное число: обозначим его как ( ABC ), где:
- ( A ) — первая цифра (от 1 до 9, так как число трехзначное),
- ( B ) — вторая цифра (от 0 до 9),
- ( C ) — третья цифра (от 0 до 9).
Число:
[
N = 100A + 10B + C
]
Перестановка:
Если мы переставим последнюю цифру ( C ) в начало, получим число:
[
C , A , B \quad \text{(новое число)} = 100C + 10A + B
]
Условие:
Новое число больше исходного на 441:
[
100C + 10A + B = N + 441
]
Подставим ( N ):
[
100C + 10A + B = 100A + 10B + C + 441
]
Перенесем все в одну сторону:
[
100C + 10A + B - 100A - 10B - C = 441
]
Приведем подобные:
[
(100C - C) + (10A - 100A) + (B - 10B) = 441
]
[
99C - 90A - 9B = 441
]
Разделим обе части на 9:
[
11C - 10A - B = 49
]
Это уравнение связывает три цифры:
[
11C - 10A - B = 49
]
Теперь ищем цифры ( A, B, C ), причём:
- ( A \in [1, 9] ), так как число трехзначное,
- ( B, C \in [0, 9] ).
Давайте по порядку попробуем возможные значения ( C ):
Для ( C=9 ):
[
11 \times 9 - 10A - B = 49 \Rightarrow 99 - 10A - B = 49
]
[
-10A - B = -50
]
[
10A + B = 50
]
Поскольку ( B \in [0,9] ), ( 10A + B \in [10, 99] ).
Для ( A=5 ):
[
10 \times 5 + B = 50 \Rightarrow 50 + B = 50 \Rightarrow B=0
]
Проверка: ( B=0 ), отлично укладывается в диапазон.
Итак, при ( C=9 ), ( A=5 ), ( B=0 ).
Проверяем число: ( N = 100A + 10B + C = 100 \times 5 + 10 \times 0 + 9 = 500 + 0 + 9=509 ).
Перестановка:
[
C A B = 9,5,0 = 950
]
Проверка:
[
950 - 509 = 441
]
Совпадает с условием.
Это нужное число. Оно трехзначное, и условие выполнено.
Ответ: наименьшее число — 509.
Итог:
Наименьшее число, при перестановке последней цифры в начало которого, разница с исходным числом равна 441 — это 509.
