1. Сократить дробь: а) y² - y ------ y² б) x² + 3x -------- x² - 9 2. Выполните действия: а) 4 4 --- + --- a a + 3 б) 2x 2x ----- - ----- x² - 4 x + 2 3. Найдите значение…
1. Сократить дробь: а) y² - y ------ y² б) x² + 3x -------- x² - 9 2. Выполните действия: а) 4 4 --- + --- a a + 3 б) 2x 2x ----- - ----- x² - 4 x + 2 3. Найдите значение выражения: y² - 8y + 16 10y - 40 ------------- + --------- y² - 16 y² + 4y при y = 60; 4. Если x = v, y = 1, то чему равно x ? - - - y z z
Конечно! Давайте подробно решим каждую задачу по порядку, чтобы всё было понятно.
Задача 1. Сократить дробь:
а) \(\frac{y^2 - y}{y^2}\)
Шаг 1: В числителе — выражение \(y^2 - y\), его можно вынести за скобки:
\[ y^2 - y = y(y - 1) \]
Шаг 2: Запишем дробь:
\[ \frac{y(y - 1)}{y^2} \]
Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на \(y\):
\[ \frac{y(y - 1)}{y \times y} = \frac{\cancel{y}(y - 1)}{\cancel{y} \times y} = \frac{y - 1}{y} \]
Ответ 1а: \(\boxed{\frac{y - 1}{y}}\)
б) \(\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}\)
Шаг 1: В числителе — \(x^2 + 3x\), вынесем \(x\):
\[ x^2 + 3x = x(x + 3) \]
Шаг 2: В знаменателе — разложение разности квадратов:
\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Шаг 3: Запишем дробь:
\[ \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} \]
Шаг 4: Ускорим сокращение — знаки \((x+3)\) есть и в числителе и в знаменателе, — они сокращаются:
\[ \frac{\cancel{x+3} \cdot x}{(x-3) \cancel{(x+3)}} = \frac{x}{x - 3} \]
Ответ 1б: \(\boxed{\frac{x}{x - 3}}\)
Задача 2. Выполните действия:
а) \(\frac{4}{a} + \frac{4}{a + 3}\)
Шаг 1: Чтобы сложить дроби, найдём общий знаменатель:
\[ a(a + 3) \]
Шаг 2: Приведём дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{4(a + 3)}{a(a + 3)} + \frac{4a}{a(a + 3)} \]
Шаг 3: Складываем числители:
\[ \frac{4(a + 3) + 4a}{a(a + 3)} = \frac{4a + 12 + 4a}{a(a + 3)} = \frac{8a + 12}{a(a + 3)} \]
Ответ 2а: \(\boxed{\frac{8a + 12}{a(a + 3)}}\)
б) \(\frac{2x}{x^2 - 4} - \frac{2x}{x + 2}\)
Шаг 1: Разложение знаменателя \(x^2 - 4\):
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
Шаг 2: Приведем обе дроби к общему знаменателю \((x - 2)(x + 2)\):
\[ \frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x}{x+2} \]
Вторая дробь дополним до общего знаменателя:
\[ \frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x(x - 2)}{(x+2)(x - 2)} \]
Шаг 3: Запишем вычитаемое:
\[ \frac{2x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Шаг 4: Вычитаем числители и оставляем знаменатель:
\[ \frac{2x - 2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ 2x - 2x(x - 2) = 2x - 2x \cdot x + 2x \cdot 2 = 2x - 2x^2 + 4x \]
Объединим подобные члены:
\[ (2x + 4x) - 2x^2 = 6x - 2x^2 \]
Ответ 2б: \(\boxed{\frac{6x - 2x^2}{(x - 2)(x + 2)}}\)
Задача 3. Найти значение выражения при \( y=60 \):
\[ \frac{y^2 - 8y + 16}{y^2 - 16} + \frac{10y - 40}{y^2 + 4y} \]
Подставим \( y=60 \):
Шаг 1: Вычислим каждую часть по отдельности.
Первая часть:
\[ \frac{60^2 - 8 \cdot 60 + 16}{60^2 - 16} \]
Вычислим числитель и знаменатель:
\[ 60^2 = 3600 \]
\[ -8 \cdot 60 = -480 \]
Числитель:
\[ 3600 - 480 + 16 = 3136 \]
Знаменатель:
\[ 3600 - 16 = 3584 \]
Первая часть:
\[ \frac{3136}{3584} \]
Упростим дробь, разделим числитель и знаменатель на их НОД — 64:
\[ \frac{3136 ÷ 64}{3584 ÷ 64} = \frac{49}{56} \]
Дополнительно упростим — делим на 7:
\[ \frac{7}{8} \]
Вторая часть:
\[ \frac{10 \cdot 60 - 40}{60^2 + 4 \cdot 60} \]
Вычислим числитель:
\[ 600 - 40 = 560 \]
Вычислим знаменатель:
\[ 3600 + 240 = 3840 \]
Дробь:
\[ \frac{560}{3840} \]
Разделим на НОД — 80:
\[ \frac{560 ÷ 80}{3840 ÷ 80} = \frac{7}{48} \]
Итог:
\[ \frac{7}{8} + \frac{7}{48} \]
Общий знаменатель — 48:
\[ \frac{7 \times 6}{8 \times 6} + \frac{7}{48} = \frac{42}{48} + \frac{7}{48} = \frac{49}{48} \]
Ответ 3: \(\boxed{\frac{49}{48}}\)
Задача 4. Если \( x = v, \ y = 1, \ z = z \), чему равен \( x \)?
По условию:
\[ x = v, \quad y = 1, \quad z = z \]
Выражение: \( x \)
Так как \( x = v \), то ответ — это просто \( v \).
Если у вас есть ещё вопросы или нужны дополнительные объяснения — обращайтесь!
