Конечно! Давайте подробно решим каждую задачу по порядку, чтобы всё было понятно.
Задача 1. Сократить дробь:
а) (\frac{y^2 - y}{y^2})
Шаг 1: В числителе — выражение (y^2 - y), его можно вынести за скобки:
[
y^2 - y = y(y - 1)
]
Шаг 2: Запишем дробь:
[
\frac{y(y - 1)}{y^2}
]
Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на (y):
[
\frac{y(y - 1)}{y \times y} = \frac{\cancel{y}(y - 1)}{\cancel{y} \times y} = \frac{y - 1}{y}
]
Ответ 1а: (\boxed{\frac{y - 1}{y}})
б) (\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9})
Шаг 1: В числителе — (x^2 + 3x), вынесем (x):
[
x^2 + 3x = x(x + 3)
]
Шаг 2: В знаменателе — разложение разности квадратов:
[
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
]
Шаг 3: Запишем дробь:
[
\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}
]
Шаг 4: Ускорим сокращение — знаки ((x+3)) есть и в числителе и в знаменателе, — они сокращаются:
[
\frac{\cancel{x+3} \cdot x}{(x-3) \cancel{(x+3)}} = \frac{x}{x - 3}
]
Ответ 1б: (\boxed{\frac{x}{x - 3}})
Задача 2. Выполните действия:
а) (\frac{4}{a} + \frac{4}{a + 3})
Шаг 1: Чтобы сложить дроби, найдём общий знаменатель:
[
a(a + 3)
]
Шаг 2: Приведём дроби к общему знаменателю:
[
\frac{4(a + 3)}{a(a + 3)} + \frac{4a}{a(a + 3)}
]
Шаг 3: Складываем числители:
[
\frac{4(a + 3) + 4a}{a(a + 3)} = \frac{4a + 12 + 4a}{a(a + 3)} = \frac{8a + 12}{a(a + 3)}
]
Ответ 2а: (\boxed{\frac{8a + 12}{a(a + 3)}})
б) (\frac{2x}{x^2 - 4} - \frac{2x}{x + 2})
Шаг 1: Разложение знаменателя (x^2 - 4):
[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
]
Шаг 2: Приведем обе дроби к общему знаменателю ((x - 2)(x + 2)):
[
\frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x}{x+2}
]
Вторая дробь дополним до общего знаменателя:
[
\frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x(x - 2)}{(x+2)(x - 2)}
]
Шаг 3: Запишем вычитаемое:
[
\frac{2x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
]
Шаг 4: Вычитаем числители и оставляем знаменатель:
[
\frac{2x - 2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
]
Раскроем скобки в числителе:
[
2x - 2x(x - 2) = 2x - 2x \cdot x + 2x \cdot 2 = 2x - 2x^2 + 4x
]
Объединим подобные члены:
[
(2x + 4x) - 2x^2 = 6x - 2x^2
]
Ответ 2б: (\boxed{\frac{6x - 2x^2}{(x - 2)(x + 2)}})
Задача 3. Найти значение выражения при ( y=60 ):
[
\frac{y^2 - 8y + 16}{y^2 - 16} + \frac{10y - 40}{y^2 + 4y}
]
Подставим ( y=60 ):
Шаг 1: Вычислим каждую часть по отдельности.
Первая часть:
[
\frac{60^2 - 8 \cdot 60 + 16}{60^2 - 16}
]
Вычислим числитель и знаменатель:
[
60^2 = 3600
]
[
-8 \cdot 60 = -480
]
Числитель:
[
3600 - 480 + 16 = 3136
]
Знаменатель:
[
3600 - 16 = 3584
]
Первая часть:
[
\frac{3136}{3584}
]
Упростим дробь, разделим числитель и знаменатель на их НОД — 64:
[
\frac{3136 ÷ 64}{3584 ÷ 64} = \frac{49}{56}
]
Дополнительно упростим — делим на 7:
[
\frac{7}{8}
]
Вторая часть:
[
\frac{10 \cdot 60 - 40}{60^2 + 4 \cdot 60}
]
Вычислим числитель:
[
600 - 40 = 560
]
Вычислим знаменатель:
[
3600 + 240 = 3840
]
Дробь:
[
\frac{560}{3840}
]
Разделим на НОД — 80:
[
\frac{560 ÷ 80}{3840 ÷ 80} = \frac{7}{48}
]
Итог:
[
\frac{7}{8} + \frac{7}{48}
]
Общий знаменатель — 48:
[
\frac{7 \times 6}{8 \times 6} + \frac{7}{48} = \frac{42}{48} + \frac{7}{48} = \frac{49}{48}
]
Ответ 3: (\boxed{\frac{49}{48}})
Задача 4. Если ( x = v, \ y = 1, \ z = z ), чему равен ( x )?
По условию:
[
x = v, \quad y = 1, \quad z = z
]
Выражение: ( x )
Так как ( x = v ), то ответ — это просто ( v ).
Если у вас есть ещё вопросы или нужны дополнительные объяснения — обращайтесь!
