1. Сократить дробь: а) y² - y ------ y² б) x² + 3x -------- x² - 9 2. Выполните действия: а) 4 4 --- + --- a a + 3 б) 2x 2x ----- - ----- x² - 4 x + 2 3. Найдите значение…
1. Сократить дробь: а) y² - y ------ y² б) x² + 3x -------- x² - 9 2. Выполните действия: а) 4 4 --- + --- a a + 3 б) 2x 2x ----- - ----- x² - 4 x + 2 3. Найдите значение выражения: y² - 8y + 16 10y - 40 ------------- + --------- y² - 16 y² + 4y при y = 60; 4. Если x = v, y = 1, то чему равно x ? - - - y z z
Конечно! Давайте подробно разберем каждую задачу.
1. Сократить дробь
а) \(\frac{y^2 - y}{y^2}\)
Шаг 1: Выделим общий множитель в числителе: \[ y^2 - y = y(y - 1) \]
Шаг 2: Запишем дробь: \[ \frac{y(y - 1)}{y^2} \]
Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на \( y \): \[ \frac{\cancel{y}(y - 1)}{\cancel{y} \cdot y} = \frac{y - 1}{y} \]
Ответ: \(\displaystyle \frac{y - 1}{y}\)
б) \(\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}\)
Шаг 1: В числителе выделим \( x \): \[ x^2 + 3x = x(x + 3) \]
Шаг 2: В знаменателе распишем разность квадратов: \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Шаг 3: Запишем дробь: \[ \frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} \]
Шаг 4: Сократим на \( x + 3 \): \[ \frac{\cancel{(x + 3)} \cdot x}{(x - 3) \cdot \cancel{(x + 3)}} = \frac{x}{x - 3} \]
Ответ: \(\displaystyle \frac{x}{x - 3}\)
2. Выполните действия
а) \(\frac{4}{a} + \frac{4}{a + 3}\)
Общий знаменатель: \(a(a + 3)\)
Шаг 1: Запишем обе дроби с этим знаменателем: \[ \frac{4(a + 3)}{a(a + 3)} + \frac{4a}{a(a + 3)} \]
Шаг 2: Складываем числители: \[ \frac{4(a + 3) + 4a}{a(a + 3)} \]
Шаг 3: Раскроем скобки в числителе: \[ 4a + 12 + 4a = 8a + 12 \]
Ответ: \[ \boxed{\frac{8a + 12}{a(a + 3)}} \]
б) \(\frac{2x}{x^2 - 4} - \frac{2x}{x + 2}\)
Первый знаменатель — разложение разности квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
Общий знаменатель: \( (x - 2)(x + 2) \)
Перепишем вторую дробь: \[ \frac{2x}{x + 2} = \frac{2x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} \]
Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель:
\[ \frac{2x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Теперь вычитаем числители: \[ \frac{2x - 2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Раскроем скобки в числителе: \[ 2x - 2x^2 + 4x = (2x + 4x) - 2x^2 = 6x - 2x^2 \]
Итак, итог: \[ \boxed{\frac{6x - 2x^2}{(x - 2)(x + 2)}} \]
Можно вынести \(2x\) за скобки в числителе: \[ \frac{2x(3 - x)}{(x - 2)(x + 2)} \]
3. Найдите значение выражения при \( y = 60 \):
\[ \frac{y^2 - 8y + 16}{y^2 - 16} + \frac{10y - 40}{y^2 + 4y} \]
Шаг 1: Подставим \( y = 60 \):
- \( y^2 = 60^2 = 3600 \)
Первый дробь:
\[ \frac{3600 - 8 \times 60 + 16}{3600 - 16} = \frac{3600 - 480 + 16}{3584} \]
Посчитаем числитель:
\[ 3600 - 480 + 16 = 3136 \]
Ответ в первой дроби:
\[ \frac{3136}{3584} \]
Второй дробь:
\[ \frac{10 \times 60 - 40}{60^2 + 4 \times 60} = \frac{600 - 40}{3600 + 240} = \frac{560}{3840} \]
Стоит сократить обе дроби:
- Первая:
\[ \frac{3136}{3584} \]
Общие делители:
\[ 3136 ÷ 64 = 49,\quad 3584 ÷ 64= 56 \]
Итак, первая дробь:
\[ \frac{49}{56} = \frac{7}{8} \]
- Вторая:
\[ \frac{560}{3840} \]
Делим на 80:
\[ \frac{7}{48} \]
Итог:
\[ \frac{7}{8} + \frac{7}{48} \]
Общий знаменатель: 48
Перепишем первую дробь:
\[ \frac{7 \times 6}{48} = \frac{42}{48} \]
Теперь сумма:
\[ \frac{42}{48} + \frac{7}{48} = \frac{49}{48} \]
Ответ: \(\boxed{\frac{49}{48}}\)
4. Если \(x = v\), \(y=1\), и \(z=z\), чему равно \(x\)?
Дано: \( x = v \), \( y=1 \), \( z=z \)
Значение \( x \): \[ x = v \]
Тогда, при \( y=1 \), значение \( x \) — это просто \( v \).
Переменная \( z \) не влияет на \( x \), значит, \( x = v \).
Если есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить — пишите!
