Периметр треугольника АВС равен 42 см. На сторонах АС и ВС треугольника взяты соответственно точки Dи F, AD = FB и DC = CF.Из точек D и Fна сторону AB опущены перпендикуляры DE и…

Рассмотрим задачу подробно и по шагам:

Дано:

• Периметр треугольника \( ABC \) равен 42 см.
• \( AC = 15 \) см.
• На сторонах \( AC \) и \( BC \) взяты точки \( D \) и \( F \) соответственно.
• \( AD = FB \), \( DC = CF \).
• Из точек \( D \) и \( F \) опущены перпендикуляры \( DE \) и \( FM \) на сторону \( AB \).
• Известно \( AC = 15 \), а также в конце указано "МB = 3", вероятно, опечатка, и имелось в виду \( BM = 3 \)? Постараемся понять это из контекста.

---

Шаг 1. Анализ данных и понятие точек D и F

• Точки \( D \) и \( F \) лежат на сторонах \( AC \) и \( BC \).
• Условие: \( AD = FB \), \( DC=CF \).

Это означает, что точки \( D \) и \( F \) делят свои стороны так, что \( AD \) равно \( FB \) и \( DC \) равно \( CF \).
Если переместиться на стороны \( AC \) и \( BC \):

• Пусть \( D \) — точка на \( AC \),
• Пусть \( F \) — точка на \( BC \).

---

Шаг 2. Обозначения и поиск сторон

Обозначим:

• \( AB = x \) — искомая длина.
• \( BC = y \).
• \( AC = 15 \) (из условия).

Периметр \( P = AB + BC + AC = 42 \):

\[ x + y + 15 = 42 \implies x + y = 27. \]

Т.е. \( y = 27 - x \).

---

Шаг 3. Анализ точек \( D \) и \( F \)

По условию, \( AD = FB \) и \( DC = CF \).

Поскольку \( D \) и \( F \) — точки на сторонах \( AC \) и \( BC \), а эти точки делят их так, что соответствующие отрезки равны, то:

• На стороне \( AC \):

  Пусть \( D \) — точка на \( AC \). Тогда \( AD = DC \) или в целом, разрезая сторону \( AC \) на части \( AD \) и \( DC \) (скорее всего, \( D \) делит \( AC \)).

• Аналогично, на \( BC \):

  \( F \) — точка, делящая \( BC \), и \( FB = FC \).

То есть, точки \( D \) и \( F \) являются срединами своих сторон, что указывает на принятие их как середины сторон.
Но в условии есть равенство \( AD = FB \), что нам говорит о равенстве разделенных отрезков.

---

Шаг 4. Важная подсказка — точки \( D \) и \( F \) делят стороны на равные части

Если предположить, что точки \( D \) и \( F \) — середины своих сторон:

• Тогда \( D \) — середина \( AC \).
• \( F \) — середина \( BC \).

И из этого есть:

\[ AD = DC = \frac{AC}{2} = 7.5, \] \[ FB = FC = \frac{BC}{2} = \frac{y}{2}. \]

По условию, \( AD = FB \), значит:

\[ 7.5 = \frac{y}{2} \implies y = 15. \]

Теперь, из уравнения периметра:

\[ x + y = 27, \] \[ x + 15 = 27 \implies x = 12. \]

Тогда \( AB = 12 \).

---

Шаг 5. Отрезок \( EM \)

Из условия:

• перпендикуляры \( DE \) и \( FM \) опущены из точек \( D \) и \( F \) на сторону \( AB \),
• \( E \) и \( M \) — основания перпендикуляров,
• известно \( MB = 3 \).

Обратим внимание, что точка \( M \) — основание перпендикуляра \( FM \) из \( F \), на \( AB \).

• \( MB = 3 \)

Теперь, чтобы найти \( EM \), нужно определить расположение точек и организовать координатную модель.

---

Шаг 6. Координатная модель

Положим:

• \( A = (0, 0) \),
• \( B = (x, 0) \),
• \( C = (x/2, h) \),

где \( h \) — высота треугольника, \( x = 12 \), как мы нашли.

Нам нужно определить \( h \).

Используем \( AC = 15 \).

Координаты:

• \( A = (0, 0) \),
• \( C = (6, h) \),

длина \( AC \):

\[ AC = \sqrt{(6 - 0)^2 + h^2} = 15, \] \[ 36 + h^2 = 225, \] \[ h^2 = 189, \] \[ h = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}. \]

---

Шаг 7. Расположение точек \( D \) и \( F \)

• \( D \) — середина \( AC \):

\[ D = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = (3, h/2). \]

• \( F \) — середина \( BC \):

\[ B = (12, 0), \] \[ C = (6, h), \] \[ F = \left(\frac{12+6}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = (9, h/2). \]

---

Шаг 8. Опущенные перпендикуляры \( DE \) и \( FM \)

• \( D = (3, h/2) \).

• \( E \) — foot of perpendicular from \( D \) на \( AB \).
  Так как \( AB \) — это ось \( x \), перпендикуляр из \( D \) опускается вертикально вниз (по \( x \)-координате), и точка \( E \):

\[ E = (3, 0), \] так как это проекция \( D \) на \( \(AB\).

• Аналогично для \( F = (9, h/2) \),

• \( M \) — основание перпендикуляра \( FM \).
  Поскольку \( AB \) — горизонталь, \( M = (9, 0) \).

---

Шаг 9. Расчет \( EM \)

• \( E = (3, 0) \),
• \( M = (9, 0) \).

Длина \( EM \):

\[ EM = |9 - 3| = 6. \]

---

Итоговые ответы:

\[ \boxed{ \text{Длина } AB = 12, \\ \text{Длина } EM = 6. } \]

---

Ответы:

• Отрезок \( AB \) равен \( 12 \) см.
• Отрезок \( EM \) равен \( 6 \) см.