Рассмотрим задачу: нам нужно найти вероятность того, что спортсмен N из Италии выйдет в стартовую тройку (первыми, вторыми или третьими) при случайной жеребьевке.
Дано:
- Итальянских спортсменов: 10 человек
- Общие спортсмены: 7 (Германия) + 10 (Италия) + 6 (Россия) + 16 (Китай) = 39 человек
Цель:
Вычислить вероятность, что конкретный спортсмен из Италии (назовём его N) будет выступать в позиции 1, 2 или 3.
Шаг 1. Общее количество возможных вариантов порядка выступлений
Всего спортсменов 39, и порядок определяется жеребьёвкой, то есть все варианты равновероятны.
Общее число способов выбрать первых трёх спортсменов из 39 — это число последовательностей, где важен порядок:
[
\text{Общее число вариантов} = P(39, 3) = 39 \times 38 \times 37
]
Шаг 2. Подсчёт благоприятных случаев
Нам необходимо, чтобы спортсмен N из Италии выступил в одной из первых трёх позиций. Он может оказаться в первой, второй или третьей позиции.
Рассмотрим по отдельности каждую позицию:
Спортсмен N занимает первую позицию:
Остаётся выбрать двух спортсменов из остальных 38 человек, их порядок — это перестановка из 2:
[
\text{число вариантов} = 38 \times 37
]
Аналогично, для второй позиции:
Первую позицию занимают любые из 38 оставшихся, за исключением спортсмена N, а N занимает вторую позицию:
- Первая позиция — любой из 38 человек (кроме N)
- Вторая позиция — спортсмен N
Вариантов для первой позиции: 38
Варианта для второй: 1 (N)
После этого остаётся выбрать 1 из 37 человек для третьей позиции, и он может быть любым.
Итак, подход одинаковый:
Количество вариантов, когда N — во второй позиции:
[
38 \times 1 \times 37
]
Для третьей позиции:
Аналогично, первые две позиции — заполняются любыми из оставшихся, затем N — третий:
Вариантов для первых двух позиций:
[
38 \times 37
]
Третья позиция — N.
Каждая позиция — отдельный случай, и эти случаи не пересекаются (спортсмен N не может одновременно находиться в нескольких позициях).
Шаг 3. Общее число благоприятных случаев
Объединим все три случая:
[
\text{Благоприятные случаи} = (38 \times 37) + (38 \times 1 \times 37) + (38 \times 37)
]
- Первой — (38 \times 37)
- Второй — (38 \times 37)
- Третьей — (38 \times 37)
Общее:
[
3 \times (38 \times 37) = 3 \times 1406 = 4218
]
Шаг 4. Вычисление вероятности
Вероятность — это отношение благоприятных случаев к общему числу возможных:
[
\text{Вероятность} = \frac{4218}{39 \times 38 \times 37}
]
Посчитаем знаменатель:
[
39 \times 38 \times 37 = (39 \times 38) \times 37
]
[
39 \times 38 = 1482
]
[
1482 \times 37 = 54834
]
Теперь делим:
[
\frac{4218}{54834} \approx 0,077
]
или в процентах:
[
0,077 \times 100% \approx 7,7%
]
Ответ:
Вероятность того, что спортсмен N из Италии будет выступать первым, вторым или третьим — примерно 7,7%.
