На отрезке длиной 10 см случайным образом выбирают две точки какова вероятность того что расстояние между ними окажется меньше 3 см
Задача: На отрезке длиной 10 см случайным образом выбирают две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется меньше 3 см?
Решение (подробное пояснение):
- Обозначим параметры:
- Пусть первый выбранный пункт — это точка \( x \), которая случайно равномерно распределена на отрезке \([0, 10]\).
- Пусть второй выбранный пункт — это точка \( y \), также равномерно и независимо выбрана на том же отрезке \([0, 10]\).
- Графическая модель:
- Можно представить все возможные варианты выбора двух точек в виде площади квадрата \( 10 \times 10 \), где каждая ось — координата одной из точек (от 0 до 10).
- Каждая точка этого квадрата (точка \((x, y)\)) — это конкретный выбор двух точек.
- Условие:
Нам нужно найти вероятность того, что расстояние между точками меньше 3 см:
\[ |x - y| < 3 \]
Это означает, что разница между выбранными координатами менее 3.
- Область допустимых точек:
- Область, где \(|x - y| < 3\), — это диапазон между двумя линиями:
\[ y = x + 3 \quad \text{и} \quad y = x - 3 \]
на плоскости \((x, y)\).
- При этом учитываются границы квадрата \([0, 10] \times [0, 10]\).
- Площадь области, где выполняется условие:
Область, где \(|x - y| < 3\), ограничена двумя полосами внутри квадрата.
Линии: \( y = x + 3 \) и \( y = x - 3 \).
Нужно найти площадь внутри квадрата, лежащую между этими линиями.
Расчёт площади:
Общая площадь квадрата: \( 10 \times 10 = 100 \).
Формула вероятности: \( P = \frac{\text{площадь допустимой области}}{100} \).
Визуализация:
Рассмотрим линию \( y = x + 3 \):
- В точке \( x = 0 \), \( y = 3 \)
- В точке \( x = 7 \), \( y = 10 \)
Линия \( y = x - 3 \):
- В точке \( x = 3 \), \( y = 0 \)
- В точке \( x = 10 \), \( y = 7 \)
Область, где \( |x - y| < 3 \), — это полоса между этими линиями внутри квадрата, с учётом пересечений с границами.
Расчёты:
- Пересечения с границами:
Для \( y = x + 3 \):
При \( x = 0 \), \( y = 3 \)
При \( y = 10 \), находим \( x \):
\[ 10 = x + 3 \Rightarrow x = 7 \]
Для \( y = x - 3 \):
При \( x = 3 \), \( y = 0 \)
При \( y = 10 \), находим \( x \):
\[ 10 = x - 3 \Rightarrow x = 13 \]
Но так как максимум \( x = 10 \), пересечение с верхней границей — это точка \((10, 7)\).
- Область допустимых точек:
- Внутри квадрата — это все точки \((x, y)\), для которых:
\[ x - 3 < y < x + 3 \]
Рассмотрим это как "полосу" шириной 6 (от \(-3\) до \(+3\)) по вертикали относительно линии \( y = x \).
В пределах границ квадрата:
Левая граница — при \( x \in [0, 3] \), нижняя граница \( y = 0 \), а верхняя \( y = x + 3 \).
Внутри фигуры:
\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{7} \left[ (x+3) - 0 \right] dx + \text{(учитывать ограничения по границам)}. \]
Но проще считать напрямую.
Альтернативный способ — геометрический:
Область, где \(|x - y| < 3\), — это площадь между двумя линиями внутри квадрата.
Параллельные линии, разделяющие квадрат, пересекают его:
Первая линия: \( y = x + 3 \)
Вторая линия: \( y = x - 3 \)
Эти линии пересекаются с границами квадрата:
В точках \((0, 3)\) и \((7, 10)\) для \( y = x + 3 \).
В точках \((3, 0)\) и \((10, 7)\) для \( y = x - 3 \).
Область между ними — это многоугольник, образованный линиями и границами квадрата.
Итог:
Площадь допустимой области составляет:
\[ A = 100 - \text{нежелательная часть}, \text{или, проще:} \quad \text{площадь полосы} \]
Площадь полосы, образованной линиями, равна:
\[ \,\text{ширина} \times \text{длина} = 6 \times 10 = 60 \]
Но нужно учесть, что линия \( y = x + 3 \) ограничена \( x \le 7 \), а линия \( y = x - 3 \) — для \( x \ge 3 \).
Итоговая формула:
- Площадь допустимой области равна:
\[ A = \text{длина} \times \text{ширина} = (\text{максимальное } x - \text{минимальное } x) \times \text{ширина полосы} \]
Спускаясь к результату:
\[ \boxed{ A = 100 - 2 \times \text{площадь треугольников, вырезанных по углам} } \]
По симметрии и геометрии (расчёты можно делать по формуле площади).
Итоговая вероятность:
Площадь, где \( |x - y| < 3 \), составляет:
\[ \boxed{ P = \frac{A}{100} } \]
и, по стандартным результатам, это:
\[ P = \frac{100 - 2 \times \frac{(10-3)^2}{2}}{100} = \frac{100 - 2 \times 24.5}{100} = \frac{100 - 49}{100} = 0.51 \]
Ответ:
Вероятность того, что расстояние между двумя случайно выбранными точками на отрезке длиной 10 см, меньше 3 см, равна примерно 0,51 или 51%.
