На отрезке длиной 10 см случайным образом выбирают две точки какова вероятность того что расстояние между ними окажется меньше 3 см

Задача: На отрезке длиной 10 см случайным образом выбирают две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется меньше 3 см? Решение (подробное пояснение): 1. **Обозначим параметры:** - Пусть первый выбранный пункт — это точка \( x \), которая случайно равномерно распределена на отрезке \([0, 10]\). - Пусть второй выбранный пункт — это точка \( y \), также равномерно и независимо выбрана на том же отрезке \([0, 10]\). 2. **Графическая модель:** - Можно представить все возможные варианты выбора двух точек в виде площади квадрата \( 10 \times 10 \), где каждая ось — координата одной из точек (от 0 до 10). - Каждая точка этого квадрата (точка \((x, y)\)) — это конкретный выбор двух точек. 3. **Условие:** Нам нужно найти вероятность того, что расстояние между точками меньше 3 см: \[ |x - y| < 3 \] Это означает, что разница между выбранными координатами менее 3. 4. **Область допустимых точек:** - Область, где \(|x - y| < 3\), — это диапазон между двумя линиями: \[ y = x + 3 \quad \text{и} \quad y = x - 3 \] на плоскости \((x, y)\). - При этом учитываются границы квадрата \([0, 10] \times [0, 10]\). 5. **Площадь области, где выполняется условие:** - Область, где \(|x - y| < 3\), ограничена двумя полосами внутри квадрата. - Линии: \( y = x + 3 \) и \( y = x - 3 \). - Нужно найти площадь внутри квадрата, лежащую между этими линиями. --- ### Расчёт площади: - Общая площадь квадрата: \( 10 \times 10 = 100 \). - Формула вероятности: \( P = \frac{\text{площадь допустимой области}}{100} \). --- ### Визуализация: - Рассмотрим линию \( y = x + 3 \): - В точке \( x = 0 \), \( y = 3 \) - В точке \( x = 7 \), \( y = 10 \) - Линия \( y = x - 3 \): - В точке \( x = 3 \), \( y = 0 \) - В точке \( x = 10 \), \( y = 7 \) Область, где \( |x - y| < 3 \), — это полоса между этими линиями внутри квадрата, с учётом пересечений с границами. --- ### Расчёты: 1. **Пересечения с границами:** - Для \( y = x + 3 \): - При \( x = 0 \), \( y = 3 \) - При \( y = 10 \), находим \( x \): \[ 10 = x + 3 \Rightarrow x = 7 \] - Для \( y = x - 3 \): - При \( x = 3 \), \( y = 0 \) - При \( y = 10 \), находим \( x \): \[ 10 = x - 3 \Rightarrow x = 13 \] Но так как максимум \( x = 10 \), пересечение с верхней границей — это точка \((10, 7)\). 2. **Область допустимых точек:** - Внутри квадрата — это все точки \((x, y)\), для которых: \[ x - 3 < y < x + 3 \] - Рассмотрим это как "полосу" шириной 6 (от \(-3\) до \(+3\)) по вертикали относительно линии \( y = x \). - В пределах границ квадрата: - Левая граница — при \( x \in [0, 3] \), нижняя граница \( y = 0 \), а верхняя \( y = x + 3 \). - Внутри фигуры: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{7} \left[ (x+3) - 0 \right] dx + \text{(учитывать ограничения по границам)}. \] Но проще считать напрямую. --- ### Альтернативный способ — геометрический: Область, где \(|x - y| < 3\), — это площадь между двумя линиями внутри квадрата. - Параллельные линии, разделяющие квадрат, пересекают его: - Первая линия: \( y = x + 3 \) - Вторая линия: \( y = x - 3 \) - Эти линии пересекаются с границами квадрата: - В точках \((0, 3)\) и \((7, 10)\) для \( y = x + 3 \). - В точках \((3, 0)\) и \((10, 7)\) для \( y = x - 3 \). - Область между ними — это многоугольник, образованный линиями и границами квадрата. --- ### Итог: Площадь допустимой области составляет: \[ A = 100 - \text{нежелательная часть}, \text{или, проще:} \quad \text{площадь полосы} \] **Площадь полосы, образованной линиями, равна:** \[ \,\text{ширина} \times \text{длина} = 6 \times 10 = 60 \] Но нужно учесть, что линия \( y = x + 3 \) ограничена \( x \le 7 \), а линия \( y = x - 3 \) — для \( x \ge 3 \). --- ### Итоговая формула: - Площадь допустимой области равна: \[ A = \text{длина} \times \text{ширина} = (\text{максимальное } x - \text{минимальное } x) \times \text{ширина полосы} \] Спускаясь к результату: \[ \boxed{ A = 100 - 2 \times \text{площадь треугольников, вырезанных по углам} } \] По симметрии и геометрии (расчёты можно делать по формуле площади). --- ### Итоговая вероятность: Площадь, где \( |x - y| < 3 \), составляет: \[ \boxed{ P = \frac{A}{100} } \] и, по стандартным результатам, это: \[ P = \frac{100 - 2 \times \frac{(10-3)^2}{2}}{100} = \frac{100 - 2 \times 24.5}{100} = \frac{100 - 49}{100} = 0.51 \] --- ### **Ответ:** **Вероятность того, что расстояние между двумя случайно выбранными точками на отрезке длиной 10 см, меньше 3 см, равна примерно 0,51 или 51%.**