Упростите

Давайте по шагам упростим каждое выражение. --- ### 1. Упростить \(\left( \frac{x^{-2} + 1}{1 - x^{-2}} \right)^{-1}\) **Шаг 1:** Внутри скобок выразим с отрицательными степенями через положительные: \[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \] Тогда числитель и знаменатель: \[ \frac{\frac{1}{x^2} + 1}{1 - \frac{1}{x^2}} \] **Шаг 2:** Объединим в числителе и знаменателе дроби: \[ \frac{\frac{1 + x^2}{x^2}}{\frac{x^2 - 1}{x^2}} \] **Шаг 3:** Деление дробей — умножение на обратную: \[ \left( \frac{1 + x^2}{x^2} \times \frac{x^2}{x^2 - 1} \right)^{-1} \] Так как \(x^2\) сокращается: \[ \left( \frac{1 + x^2}{x^2 - 1} \right)^{-1} \] **Шаг 4:** Возводим в обратную степень: \[ \frac{x^2 - 1}{1 + x^2} \] **Ответ к первому заданию:** \[ \boxed{\frac{x^2 - 1}{1 + x^2}} \] --- ### 2. Упростить \(\frac{5^{n+1} + 5^n}{6^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{30 - n}\) Обратим внимание, что \(5^{n+1} = 5 \times 5^n\). Тогда: \[ \frac{5 \times 5^n + 5^n}{6^{n+1}} \times \frac{2^n}{30 - n} \] В числителе у первой дроби вынесем \(5^n\): \[ \frac{5^n (5 + 1)}{6^{n+1}} \times \frac{2^n}{30 - n} \] значит: \[ \frac{6 \times 5^n}{6^{n+1}} \times \frac{2^n}{30 - n} \] Обратим внимание на \(6^{n+1} = 6 \times 6^n\): \[ \frac{6 \times 5^n}{6 \times 6^n} \times \frac{2^n}{30 - n} \] Сокращение \(\times 6\): \[ \frac{5^n}{6^n} \times \frac{2^n}{30 - n} \] Рассмотрим \(\frac{5^n}{6^n} = \left( \frac{5}{6} \right)^n\): \[ \left( \frac{5}{6} \right)^n \times \frac{2^n}{30 - n} \] Рассмотрим \(\left( \frac{5}{6} \right)^n \times 2^n = \left( \frac{5 \times 2}{6} \right)^n = \left( \frac{10}{6} \right)^n = \left( \frac{5}{3} \right)^n\). Итак, итог: \[ \boxed{\frac{\left( \frac{5}{3} \right)^n}{30 - n}} \] --- ### 3. Упростить \(\left( b^2 x^{-1} - (b + x) \right) \left( \frac{x}{b - x} \right)^{-1}\) **Шаг 1:** Перепишем каждую часть: \[ b^2 x^{-1} - (b + x) \] Обратим внимание на второй член: пятный, не требует изменений. **Шаг 2:** Раскроем скобки во второй части: \[ \left( \frac{x}{b - x} \right)^{-1} = \frac{b - x}{x} \] **Шаг 3:** Перепишем исходное выражение: \[ \left( b^2 \times \frac{1}{x} - (b + x) \right) \times \frac{b - x}{x} \] **Шаг 4:** Объединим в скобках: \[ \left( \frac{b^2}{x} - b - x \right) \times \frac{b - x}{x} \] Чтобы упростить, приведем к общему знаменателю \(\times x\): \[ \frac{b^2 - b x - x^2}{x} \] И, в итоге, весь выразится так: \[ \frac{b^2 - b x - x^2}{x} \times \frac{b - x}{x} = \frac{(b^2 - b x - x^2)(b - x)}{x^2} \] --- ### Итоговые ответы: 1. \(\boxed{\frac{x^2 - 1}{1 + x^2}}\) 2. \(\boxed{\frac{\left( \frac{5}{3} \right)^n}{30 - n}}\) 3. \(\boxed{\frac{(b^2 - b x - x^2)(b - x)}{x^2}}\) Если нужно подробнее по какому-либо пункту — скажите!