упростите
Давайте по шагам упростим каждое выражение.
1. Упростить \(\left( \frac{x^{-2} + 1}{1 - x^{-2}} \right)^{-1}\)
Шаг 1: Внутри скобок выразим с отрицательными степенями через положительные:
\[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]
Тогда числитель и знаменатель:
\[ \frac{\frac{1}{x^2} + 1}{1 - \frac{1}{x^2}} \]
Шаг 2: Объединим в числителе и знаменателе дроби:
\[ \frac{\frac{1 + x^2}{x^2}}{\frac{x^2 - 1}{x^2}} \]
Шаг 3: Деление дробей — умножение на обратную:
\[ \left( \frac{1 + x^2}{x^2} \times \frac{x^2}{x^2 - 1} \right)^{-1} \]
Так как \(x^2\) сокращается:
\[ \left( \frac{1 + x^2}{x^2 - 1} \right)^{-1} \]
Шаг 4: Возводим в обратную степень:
\[ \frac{x^2 - 1}{1 + x^2} \]
Ответ к первому заданию:
\[ \boxed{\frac{x^2 - 1}{1 + x^2}} \]
2. Упростить \(\frac{5^{n+1} + 5^n}{6^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{30 - n}\)
Обратим внимание, что \(5^{n+1} = 5 \times 5^n\). Тогда:
\[ \frac{5 \times 5^n + 5^n}{6^{n+1}} \times \frac{2^n}{30 - n} \]
В числителе у первой дроби вынесем \(5^n\):
\[ \frac{5^n (5 + 1)}{6^{n+1}} \times \frac{2^n}{30 - n} \]
значит:
\[ \frac{6 \times 5^n}{6^{n+1}} \times \frac{2^n}{30 - n} \]
Обратим внимание на \(6^{n+1} = 6 \times 6^n\):
\[ \frac{6 \times 5^n}{6 \times 6^n} \times \frac{2^n}{30 - n} \]
Сокращение \(\times 6\):
\[ \frac{5^n}{6^n} \times \frac{2^n}{30 - n} \]
Рассмотрим \(\frac{5^n}{6^n} = \left( \frac{5}{6} \right)^n\):
\[ \left( \frac{5}{6} \right)^n \times \frac{2^n}{30 - n} \]
Рассмотрим \(\left( \frac{5}{6} \right)^n \times 2^n = \left( \frac{5 \times 2}{6} \right)^n = \left( \frac{10}{6} \right)^n = \left( \frac{5}{3} \right)^n\).
Итак, итог:
\[ \boxed{\frac{\left( \frac{5}{3} \right)^n}{30 - n}} \]
3. Упростить \(\left( b^2 x^{-1} - (b + x) \right) \left( \frac{x}{b - x} \right)^{-1}\)
Шаг 1: Перепишем каждую часть:
\[ b^2 x^{-1} - (b + x) \]
Обратим внимание на второй член: пятный, не требует изменений.
Шаг 2: Раскроем скобки во второй части:
\[ \left( \frac{x}{b - x} \right)^{-1} = \frac{b - x}{x} \]
Шаг 3: Перепишем исходное выражение:
\[ \left( b^2 \times \frac{1}{x} - (b + x) \right) \times \frac{b - x}{x} \]
Шаг 4: Объединим в скобках:
\[ \left( \frac{b^2}{x} - b - x \right) \times \frac{b - x}{x} \]
Чтобы упростить, приведем к общему знаменателю \(\times x\):
\[ \frac{b^2 - b x - x^2}{x} \]
И, в итоге, весь выразится так:
\[ \frac{b^2 - b x - x^2}{x} \times \frac{b - x}{x} = \frac{(b^2 - b x - x^2)(b - x)}{x^2} \]
Итоговые ответы:
\(\boxed{\frac{x^2 - 1}{1 + x^2}}\)
\(\boxed{\frac{\left( \frac{5}{3} \right)^n}{30 - n}}\)
\(\boxed{\frac{(b^2 - b x - x^2)(b - x)}{x^2}}\)
Если нужно подробнее по какому-либо пункту — скажите!
