7. Из точки Р, отстоящей от окружности на 8 см, проведены касательные РА и РВ (см. рис.). Если РА + РВ = 24 см, то площадь круга равна _____ см2 .
Рассмотрим задачу подробно и пошагово.
Дано:
- Точка P находится на расстоянии 8 см от окружности.
- Проведены касательные РА и РВ, исходящие из точки P.
- Сумма длин касательных: РА + РВ = 24 см.
Задача: Найти площадь круга.
Шаг 1. Рассмотрение геометрической ситуации
- Из точки P проведены две касательные к окружности, и касательные исходят из одной точки.
- Настоящая важная особенность: касательные к окружности из одной точки равны по длине.
Вывод:
Рассмотрим точку P и касательные:
- \( PA \) и \( PB \).
- Тогда, по условию РA + РВ = 24 см.
Но поскольку \( PA \) и \( PB \) — это касательные из одной точки, они равны по длине:
- \( PA = PB = x \).
Отсюда:
\[ PA + PB = 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \, \text{см} \]
Шаг 2. Определение расстояния от точки P до центра окружности
Точка P находится на расстоянии 8 см от окружности.
- Расстояние от точки P до центра окружности обозначим как \( PO \).
- Радиус окружности — \( R \).
Поскольку \( P \) — вне окружности, и касательные проведены из точки P, то:
- \( PA \) является касательной, которая перпендикулярна радиусу в точке касания.
- Также известно, что \( P \) равноудален от точки касания и радиуса, то есть:
\[ PO = \sqrt{R^2 + 8^2} \]
Но нужно понять, как связать это с длиной касательных.
Шаг 3. Связь между длинной касательной и радиусом
Известный факт:
- Длина касательной \( PA = x \) из точки P до точки касания равна:
\[ PA = \sqrt{PO^2 - R^2} \]
Поскольку мы уже нашли:
\[ PA = 12 \text{ см} \]
и расстояние от P до окружности по радиусу \( R \) и расстоянию от P до центра \( PO \):
\[ PO = \sqrt{R^2 + 8^2} = \sqrt{R^2 + 64} \]
Тогда
\[ PA = \sqrt{( \sqrt{R^2 + 64} )^2 - R^2} = \sqrt{( R^2 + 64) - R^2} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]
Но это противоречит нашему выводу, так как ранее мы определили \( PA=12 \).
Важный момент: правильная формулировка
В условии указано, что расстояние от точки \( P \) до окружности — 8 см, то есть, возможно, это = минимальное расстояние от точки P до окружности, то есть, расстояние от P до точки касания равно 8 см.
В этом случае, расстояние \( PO \):
\[ PO = R + 8 \]
Поскольку касательные из точки P в точках касания перпендикулярны радиусам, то:
\[ PA = PB = x = \text{длина касательной} \]
Используем теорему Пифагора для треугольника \( POPA \):
\[ PO^2 = R^2 + x^2 \]
Но \( PO = R + 8 \):
\[ (R + 8)^2 = R^2 + x^2 \]
Раскроем скобки:
\[ R^2 + 16R + 64 = R^2 + x^2 \]
Отсюда:
\[ x^2 = 16R + 64 \]
Также известно, что:
\[ PA + PB = 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \]
Подставим \( x = 12 \):
\[ 12^2 = 16R + 64 \]
\[ 144 = 16R + 64 \]
Отнимем 64:
\[ 144 - 64 = 16R \]
\[ 80 = 16R \]
\[ R = \frac{80}{16} = 5 \]
Шаг 4. Итог: радиус окружности
Радиус окружности:
\[ R = 5 \text{ см} \]
Шаг 5. Вычисление площади круга
Площадь круга:
\[ S = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25 \pi \]
Приблизительно:
\[ S \approx 25 \times 3.14 = 78.5 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь круга равна \( 25\pi \) см\(^2\).
Если нужно числовое значение, то приблизительно: 78.5 см\(^2\).
