7. Из точки Р, отстоящей от окружности на 8 см, проведены касательные РА и РВ (см. рис.). Если РА + РВ = 24 см, то площадь круга равна _____ см2 .

Рассмотрим задачу подробно и пошагово. **Дано:** - Точка P находится на расстоянии 8 см от окружности. - Проведены касательные РА и РВ, исходящие из точки P. - Сумма длин касательных: РА + РВ = 24 см. **Задача:** Найти площадь круга. --- ### Шаг 1. Рассмотрение геометрической ситуации - Из точки P проведены две касательные к окружности, и касательные исходят из одной точки. - Настоящая важная особенность: касательные к окружности из одной точки равны по длине. **Вывод:** Рассмотрим точку P и касательные: - \( PA \) и \( PB \). - Тогда, по условию **РA + РВ = 24 см**. Но поскольку \( PA \) и \( PB \) — это касательные из одной точки, они равны по длине: - \( PA = PB = x \). Отсюда: \[ PA + PB = 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \, \text{см} \] ### Шаг 2. Определение расстояния от точки P до центра окружности Точка P находится на расстоянии 8 см от окружности. - Расстояние от точки P до центра окружности обозначим как \( PO \). - Радиус окружности — \( R \). Поскольку \( P \) — вне окружности, и касательные проведены из точки P, то: - \( PA \) является касательной, которая перпендикулярна радиусу в точке касания. - Также известно, что \( P \) равноудален от точки касания и радиуса, то есть: \[ PO = \sqrt{R^2 + 8^2} \] Но нужно понять, как связать это с длиной касательных. ### Шаг 3. Связь между длинной касательной и радиусом Известный факт: - Длина касательной \( PA = x \) из точки P до точки касания равна: \[ PA = \sqrt{PO^2 - R^2} \] Поскольку мы уже нашли: \[ PA = 12 \text{ см} \] и расстояние от P до окружности по радиусу \( R \) и расстоянию от P до центра \( PO \): \[ PO = \sqrt{R^2 + 8^2} = \sqrt{R^2 + 64} \] Тогда \[ PA = \sqrt{( \sqrt{R^2 + 64} )^2 - R^2} = \sqrt{( R^2 + 64) - R^2} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] Но это противоречит нашему выводу, так как ранее мы определили \( PA=12 \). --- ### Важный момент: правильная формулировка В условии указано, что расстояние от точки \( P \) до окружности — 8 см, то есть, возможно, это = минимальное расстояние от точки P до окружности, то есть, расстояние от P до точки касания равно 8 см. В этом случае, расстояние \( PO \): \[ PO = R + 8 \] Поскольку касательные из точки P в точках касания перпендикулярны радиусам, то: \[ PA = PB = x = \text{длина касательной} \] Используем теорему Пифагора для треугольника \( POPA \): \[ PO^2 = R^2 + x^2 \] Но \( PO = R + 8 \): \[ (R + 8)^2 = R^2 + x^2 \] Раскроем скобки: \[ R^2 + 16R + 64 = R^2 + x^2 \] Отсюда: \[ x^2 = 16R + 64 \] **Также известно, что:** \[ PA + PB = 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \] Подставим \( x = 12 \): \[ 12^2 = 16R + 64 \] \[ 144 = 16R + 64 \] Отнимем 64: \[ 144 - 64 = 16R \] \[ 80 = 16R \] \[ R = \frac{80}{16} = 5 \] --- ### Шаг 4. Итог: радиус окружности Радиус окружности: \[ R = 5 \text{ см} \] --- ### Шаг 5. Вычисление площади круга Площадь круга: \[ S = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25 \pi \] Приблизительно: \[ S \approx 25 \times 3.14 = 78.5 \text{ см}^2 \] --- ## **Ответ:** **Площадь круга равна \( 25\pi \) см\(^2\)**. Если нужно числовое значение, то приблизительно: **78.5 см\(^2\)**.