В прямоугольнике с длинами сторон 8 и 16 случайным образом отмечают одну точку. Какова вероятность, что расстояние от точки до ближайшей стороны прямоугольника меньше 1

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы понять, какая вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки внутри прямоугольника до ближайшей стороны меньше 1.

Шаг 1. Определение задачи

У нас есть прямоугольник с длинами сторон:

• одна сторона — 8,
• другая — 16.

Точку выбирают случайно внутри этого прямоугольника (равномерно), и нужно найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны будет меньше 1.

Шаг 2. Общие обозначения

Обозначим координаты выбранной точки как \((x, y)\), где:

• \(0 \leq x \leq 16\),
• \(0 \leq y \leq 8\).

Прямоугольник занимает площадь \(16 \times 8 = 128\).

Шаг 3. Расстояние до стороны

От точки \((x, y)\) до ближайшей стороны — это минимум из:

• расстояния до левой стороны (\(x=0\)),
• расстояния до правой стороны (\(x=16\)),
• расстояния до нижней стороны (\(y=0\)),
• расстояния до верхней стороны (\(y=8\)).

Это выражается так: \[ d_{min} = \min(x, 16 - x, y, 8 - y). \]

Нам нужно найти вероятность, что: \[ d_{min} < 1, \] то есть точка находится внутри области, где минимум из этих расстояний меньше 1.

Шаг 4. Определение области, где минимальное расстояние меньше 1

Область, в которой \(d_{min} < 1\), — это все точки, которые находятся в "внутренних" 1-единичных "полосах" около сторон.

Можно представить четыре полосы:

• Вдоль левой границы: \(\{(x, y): 0 \leq x < 1\}\),
• Вдоль правой границы: \(\{(x, y): 15 < x \leq 16\}\),
• Вдоль нижней границы: \(\{(x, y): 0 \leq y < 1\}\),
• Вдоль верхней границы: \(\{(x, y): 7 < y \leq 8\}\).

Но чтобы определить всю область, где минимальное расстояние — меньше 1, нужно учесть пересечения этих полос.

Шаг 5. Область искомого события

Область, где \(d_{min} \geq 1\), — это внутренний прямоугольник, удалённый от границ на расстояние не менее 1, то есть:

• по горизонтали: \(x \in [1, 15]\),
• по вертикали: \(y \in [1, 7]\).

Это означает, что внутри этой области: \[ \text{все точки }(x, y), \text{ где } 1 \leq x \leq 15, \quad 1 \leq y \leq 7, \] расстояния до любой стороны будут не менее 1.

Область внутри этого "защищённого" внутреннего квадрата: \[ S_{\text{safe}} = (15 - 1) \times (7 - 1) = 14 \times 6 = 84. \]

Площадь всех точек, где расстояние до ближайшей стороны больше или равно 1, равна площади этого внутреннего прямоугольника — 84.

Область, где расстояние меньше 1, — это всё остальное пространство, то есть: \[ S_{\text{total}} = 128, \] а площадь, где \(d_{min} < 1\), равна: \[ S_{\text{less than 1}} = 128 - 84 = 44. \]

Шаг 6. Итоговая вероятность

Вероятность того, что выбранная точка окажется в области, где минимальное расстояние до стороны меньше 1, — это отношение площади этой области к общей площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{d_{min} < 1}}{S_{\text{total}}} = \frac{44}{128} = \frac{11}{32} \approx 0.34375. \]

Ответ:

Вероятность того, что расстояние от случайной точки до ближайшей стороны прямоугольника меньше 1, равна \(\boxed{\frac{11}{32}}\) или примерно 34.375%.