Дана точка A(1;2;3). Найдите основание перпиндикуляра, опущенного из этой точки на плоскость xz

Давайте разберемся с задачей поэтапно.

Задача:
Дана точка \(A(1; 2; 3)\). Нужно найти основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость \(xz\).

Что известно:

• Точка \(A(1; 2; 3)\) — точка в пространстве с координатами \(x=1, y=2, z=3\).
• Плоскость \(xz\) — это плоскость, которая содержит все точки, у которых \(y=0\). То есть уравнение плоскости:
  \[ y=0 \]

Что означает "перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость"?

• Это отрезок, проведенный от точки \(A\) к плоскости, перпендикулярный ей.
• Его основание — это точка на плоскости \(xz\), в которую опущен перпендикуляр из точки \(A\).

Решение:

1. Определим направление перпендикуляра:

   • Перпендикуляр к плоскости \(xz\) идет по направлению, перпендикулярному ей.
   • Так как плоскость \(xz\) задаётся уравнением \(y=0\), то перпендикулярный ему вектор — это вектор, направленный вдоль оси \(y\):
     \[ \vec{n} = (0, 1, 0) \]

2. Точка основания перпендикуляра:

   • Это точка на плоскости \(xz\), то есть, где \(y=0\).
   • Перпендикуляр опускается из точки \(A(1; 2; 3)\) согласно направлению \(\vec{n}=(0,1,0)\).

3. Найдем точку пересечения:

   • Пусть искомая точка основания — это \(B(x_b, y_b, z_b)\).

   • Так как она лежит на плоскости \(xz\), то:
     \[ y_b=0 \]

   • Поскольку перпендикуляр идёт строго вертикально (направление — по оси \(y\)), то координаты \(x_b\) и \(z_b\) совпадают с соответствующими координатами точки \(A\).

     То есть:
     \[ x_b = 1, \quad z_b=3 \]

   • Итак, точка основания перпендикуляра:
     \[ B(1, 0, 3) \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Основание перпендикуляра: } (1, 0, 3) } \]

Это точка на плоскости \(xz\), в которую опущен перпендикуляр из точки \(A(1; 2; 3)\).