Дана точка A(1;2;3). Найдите основание перпиндикуляра, опущенного из этой точки на плоскость xz
Давайте разберемся с задачей поэтапно.
**Задача:**
Дана точка \(A(1; 2; 3)\). Нужно найти основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость \(xz\).
---
### Что известно:
- Точка \(A(1; 2; 3)\) — точка в пространстве с координатами \(x=1, y=2, z=3\).
- Плоскость \(xz\) — это плоскость, которая содержит все точки, у которых \(y=0\). То есть уравнение плоскости:
\[
y=0
\]
---
### Что означает "перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость"?
- Это отрезок, проведенный от точки \(A\) к плоскости, перпендикулярный ей.
- Его основание — это точка на плоскости \(xz\), в которую опущен перпендикуляр из точки \(A\).
---
### Решение:
1. **Определим направление перпендикуляра:**
- Перпендикуляр к плоскости \(xz\) идет по направлению, перпендикулярному ей.
- Так как плоскость \(xz\) задаётся уравнением \(y=0\), то перпендикулярный ему вектор — это вектор, направленный вдоль оси \(y\):
\[
\vec{n} = (0, 1, 0)
\]
2. **Точка основания перпендикуляра:**
- Это точка на плоскости \(xz\), то есть, где \(y=0\).
- Перпендикуляр опускается из точки \(A(1; 2; 3)\) согласно направлению \(\vec{n}=(0,1,0)\).
3. **Найдем точку пересечения:**
- Пусть искомая точка основания — это \(B(x_b, y_b, z_b)\).
- Так как она лежит на плоскости \(xz\), то:
\[
y_b=0
\]
- Поскольку перпендикуляр идёт строго вертикально (направление — по оси \(y\)), то координаты \(x_b\) и \(z_b\) совпадают с соответствующими координатами точки \(A\).
То есть:
\[
x_b = 1, \quad z_b=3
\]
- Итак, точка основания перпендикуляра:
\[
B(1, 0, 3)
\]
---
### **Ответ:**
\[
\boxed{
\text{Основание перпендикуляра: } (1, 0, 3)
}
\]
Это точка на плоскости \(xz\), в которую опущен перпендикуляр из точки \(A(1; 2; 3)\).
