Обозначим задуманное двузначное число как ( x ). Пусть его последняя цифра — ( d ). Тогда число приписывания цифры ( d ) справа к числу ( x ) можно выразить как:
[
100x + d
]
Дано, что это трехзначное число делится на 9 с остатком 3:
[
(100x + d) \equiv 3 \pmod{9}
]
Также известно, что число ( x ) делится на 15:
[
x \equiv 0 \pmod{15}
]
Шаг 1: Анализ делимости ( x ) на 15
Длина ( x ) — двузначное число, то есть:
[
10 \leq x \leq 99
]
Итак, ( x ) должно делиться на 15. Перечислим двузначные числа, делящиеся на 15:
[
15, 30, 45, 60, 75, 90
]
Шаг 2: Используем условие делимости ( 100x + d ) на 9 с остатком 3
Модуль 9:
[
(100x + d) \equiv 3 \pmod{9}
]
Но ( 100 \equiv 1 \pmod{9} ), так как:
[
100 \div 9 = 11 \times 9 + 1
]
Следовательно:
[
(100x + d) \equiv x + d \equiv 3 \pmod{9}
]
Значит:
[
x + d \equiv 3 \pmod{9}
]
Шаг 3: Подставим возможные значения ( x )
Рассмотрим каждый из вариантов:
[
15 + d \equiv 3 \pmod{9}
]
[
(15 \bmod 9) + d \equiv 3 \pmod{9}
]
[
6 + d \equiv 3 \pmod{9}
]
[
d \equiv 3 - 6 \equiv -3 \equiv 6 \pmod{9}
]
Так как ( d ) — последняя цифра, тогда ( d = 6 ).
Проверим, что ( d ) — допустимая цифра:
[
0 \leq d \leq 9
]
Да, ( d=6 ) подходит.
Проверим число: ( 100 \times 15 + 6 = 1506 ).
Это число должно быть кратно 9 с остатком 3 при делении на 9:
[
1506 \div 9 = 167 \text{ (так как } 9 \times 167 = 1503 \text{)}, \text{ остаток } 3
]
Это соответствует условию.
Вывод:
Задуманное число — ( \boxed{15} ).
Итог:
Задуманное число — 15.
