Задумали двузначное число которое делится на 15 когда числу приписали справа его последнюю цифру получилось трехзначное число которое при делении на девять дают остаток три какое…

Обозначим задуманное двузначное число как \( x \). Пусть его последняя цифра — \( d \). Тогда число приписывания цифры \( d \) справа к числу \( x \) можно выразить как:

\[ 100x + d \]

Дано, что это трехзначное число делится на 9 с остатком 3:

\[ (100x + d) \equiv 3 \pmod{9} \]

Также известно, что число \( x \) делится на 15:

\[ x \equiv 0 \pmod{15} \]

Шаг 1: Анализ делимости \( x \) на 15

Длина \( x \) — двузначное число, то есть:

\[ 10 \leq x \leq 99 \]

Итак, \( x \) должно делиться на 15. Перечислим двузначные числа, делящиеся на 15:

\[ 15, 30, 45, 60, 75, 90 \]

Шаг 2: Используем условие делимости \( 100x + d \) на 9 с остатком 3

Модуль 9:

\[ (100x + d) \equiv 3 \pmod{9} \]

Но \( 100 \equiv 1 \pmod{9} \), так как:

\[ 100 \div 9 = 11 \times 9 + 1 \]

Следовательно:

\[ (100x + d) \equiv x + d \equiv 3 \pmod{9} \]

Значит:

\[ x + d \equiv 3 \pmod{9} \]

Шаг 3: Подставим возможные значения \( x \)

Рассмотрим каждый из вариантов:

• \( x = 15 \):

\[ 15 + d \equiv 3 \pmod{9} \] \[ (15 \bmod 9) + d \equiv 3 \pmod{9} \] \[ 6 + d \equiv 3 \pmod{9} \] \[ d \equiv 3 - 6 \equiv -3 \equiv 6 \pmod{9} \]

Так как \( d \) — последняя цифра, тогда \( d = 6 \).

Проверим, что \( d \) — допустимая цифра:

\[ 0 \leq d \leq 9 \]

Да, \( d=6 \) подходит.

Проверим число: \( 100 \times 15 + 6 = 1506 \).

Это число должно быть кратно 9 с остатком 3 при делении на 9:

\[ 1506 \div 9 = 167 \text{ (так как } 9 \times 167 = 1503 \text{)}, \text{ остаток } 3 \]

Это соответствует условию.

Вывод:

Задуманное число — \( \boxed{15} \).

Итог:

Задуманное число — 15.