:(

Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно упростить выражения: 1. \( \tg(2\pi + x) \) 2. \( \ctg(2\pi - x) \) ### Шаг 1. Особенности тригонометрических функций - Функция тангенса \( \tg(\theta) \) имеет период \( \pi \): \( \tg(\theta + \pi) = \tg(\theta) \) - Функция котангенса \( \ctg(\theta) \) тоже имеет период \( \pi \): \( \ctg(\theta + \pi) = \ctg(\theta) \) Члены \( 2\pi \) в аргументах у тригонометрических функций не влияют на их значение, так как тригонометрические функции периодичны с периодом \( 2\pi \) (для синуса и косинуса), и более того, \( \tg(\theta + k\pi) = \tg(\theta) \), где \(k\) — целое число. --- ### Шаг 2. Условие на выражение \( \tg(2\pi + x) \) Так как \( \tg \) имеет период \( \pi \), то: \[ \tg(2\pi + x) = \tg(x + 2\pi) \] Поскольку \( 2\pi \) — это полный круг, то: \[ \tg(x + 2\pi) = \tg(x) \] **Ответ:** \[ \tg(2\pi + x) = \tg(x) \] --- ### Шаг 3. Условие на выражение \( \ctg(2\pi - x) \) Аналогично, для котангенса: \[ \ctg(2\pi - x) \] Так как \( \ctg(\theta) \) тоже имеет период \( \pi \), и \( 2\pi \) — полный круг, то: \[ \ctg(2\pi - x) = \ctg(-x) \] Теперь используем свойство функции: \[ \ctg(-x) = -\ctg(x) \] **Ответ:** \[ \ctg(2\pi - x) = -\ctg(x) \] --- ### Итоговые ответы: \[ \boxed{ \begin{aligned} & \tg(2\pi + x) = \tg(x) \\ & \ctg(2\pi - x) = - \ctg(x) \end{aligned} } \]