:(
Давайте решим задачу по шагам.
Нам нужно упростить выражения:
- \( \tg(2\pi + x) \)
- \( \ctg(2\pi - x) \)
Шаг 1. Особенности тригонометрических функций
Функция тангенса \( \tg(\theta) \) имеет период \( \pi \):
\( \tg(\theta + \pi) = \tg(\theta) \)Функция котангенса \( \ctg(\theta) \) тоже имеет период \( \pi \):
\( \ctg(\theta + \pi) = \ctg(\theta) \)
Члены \( 2\pi \) в аргументах у тригонометрических функций не влияют на их значение, так как тригонометрические функции периодичны с периодом \( 2\pi \) (для синуса и косинуса), и более того, \( \tg(\theta + k\pi) = \tg(\theta) \), где \(k\) — целое число.
Шаг 2. Условие на выражение \( \tg(2\pi + x) \)
Так как \( \tg \) имеет период \( \pi \), то:
\[ \tg(2\pi + x) = \tg(x + 2\pi) \]
Поскольку \( 2\pi \) — это полный круг, то:
\[ \tg(x + 2\pi) = \tg(x) \]
Ответ:
\[
\tg(2\pi + x) = \tg(x)
\]
Шаг 3. Условие на выражение \( \ctg(2\pi - x) \)
Аналогично, для котангенса:
\[ \ctg(2\pi - x) \]
Так как \( \ctg(\theta) \) тоже имеет период \( \pi \), и \( 2\pi \) — полный круг, то:
\[ \ctg(2\pi - x) = \ctg(-x) \]
Теперь используем свойство функции:
\[ \ctg(-x) = -\ctg(x) \]
Ответ:
\[
\ctg(2\pi - x) = -\ctg(x)
\]
Итоговые ответы:
\[ \boxed{ \begin{aligned} & \tg(2\pi + x) = \tg(x) \\ & \ctg(2\pi - x) = - \ctg(x) \end{aligned} } \]
