Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все вычисления.
Дано:
- Сторона правильного треугольника: ( a = 5,3\ \text{см} ).
Найти:
- Радиус описанной окружности ( R ).
- Площадь треугольника ( S ).
1. Радиус описанной окружности ( R )
Для правильного треугольника существует формула для радиуса описанной окружности:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Обоснование:
Радиус описанной окружности для правильного треугольника равен радиусу вписанной окружности, который находится на линии, соединяющей центр треугольника с вершиной.
Применяем формулу:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Подставляем значение:
[
R = \frac{5,3}{\sqrt{3}}
]
Для удобства выразим (\sqrt{3}) в виде десятичного числа:
[
\sqrt{3} \approx 1,732
]
Расчёт:
[
R \approx \frac{5,3}{1,732} \approx 3,06\ \text{см}
]
Ответ:
[
\boxed{
R \approx 3,06\ \text{см}
}
]
2. Площадь треугольника ( S )
Формула для площади правильного треугольника:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставляем значение:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (5,3)^2
]
Сначала вычислим ( (5,3)^2 ):
[
5,3^2 = 28,09
]
Теперь подставим:
[
S = \frac{1,732}{4} \times 28,09
]
Вычислим (\frac{1,732}{4}):
[
\frac{1,732}{4} \approx 0,433
]
Далее умножим:
[
S \approx 0,433 \times 28,09 \approx 12,17\ \text{см}^2
]
Ответ:
[
\boxed{
S \approx 12,17\ \text{см}^2
}
]
Итог:
- Радиус описанной окружности: примерно 3,06 см.
- Площадь треугольника: примерно 12,17 см².
Если нужно более подробно или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
