х^2-17х+72<0

Дана неравенство:
\[ x^2 - 17x + 72 < 0 \]

Цель — понять, для каких значений \( x \) оно выполняется.

Шаг 1. Найдём корни уравнения \( x^2 - 17x + 72 = 0 \)

Это квадратичное уравнение, решим его через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a=1 \), \( b=-17 \), \( c=72 \).

\[ D = (-17)^2 - 4 \times 1 \times 72 = 289 - 288 = 1 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{17 \pm 1}{2} \]

Получили два корня:

• \( x_1 = \frac{17 - 1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( x_2 = \frac{17 + 1}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

Шаг 2. Анализ знака квадратичной функции

Квадратичная функция \( y = x^2 - 17x + 72 \) «открыта вверх» (так как коэффициент при \( x^2 \) положительный), и её график — парабола с минимальной точкой между корнями.

Значения функции:

• На интервале \( (8, 9) \), где \( x \) лежит между корнями, значение функции будет отрицательным (так как парабола опущена вниз между корнями).
• Вне этого интервала — функция положительна, так как парабола идет вверх.

Ответ:

\[ x^2 - 17x + 72 < 0 \] выполняется при:

\[ \boxed{8 < x < 9} \]

То есть, все значения \( x \) между 8 и 9, не включая эти точки, удовлетворяют неравенству.

Если нужно дополнительно объяснить, как это понять или проверить — скажите!