Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- Расстояния:
- против течения: 64 км
- по течению: 38 км
- Время затраченное:
- на путь по течению — на 1 час меньше, чем против течения
- Скорость течения реки: ( v_{р} = 3, \text{км/ч} )
- Обозначим собственную скорость катера: ( v ) (знак "собственная скорость" — это скорость без течения)
Шаг 1: Определим скорости катера относительно воды
- Скорость катера против течения: ( v_{против} = v - v_{р} = v - 3 )
- Скорость катера по течению: ( v_{по} = v + v_{р} = v + 3 )
Шаг 2: Запишем выражения для времени пути
Шаг 3: Используем условие по времени
Задача говорит, что время по течению меньше на 1 час, чем против течения:
[
t_{против} = t_{по} + 1
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{64}{v - 3} = \frac{38}{v + 3} + 1
]
Шаг 4: Решим уравнение
Перенесём всё в одну сторону:
[
\frac{64}{v - 3} - \frac{38}{v + 3} = 1
]
Объединим левую часть на общем знаменателе:
[
\frac{64(v + 3) - 38(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 1
]
Раскроем скобки в числителе:
[
64v + 192 - 38v + 114 = 1 \times (v^2 - 9)
]
Вычислим числитель:
[
(64v - 38v) + (192 + 114) = 26v + 306
]
Итак:
[
\frac{26v + 306}{v^2 - 9} = 1
]
Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель:
[
26v + 306 = v^2 - 9
]
Перенесем все в левую сторону:
[
v^2 - 9 - 26v - 306 = 0
]
Объединим подобные:
[
v^2 - 26v - 315 = 0
]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Используя дискриминант:
[
D = (-26)^2 - 4 \times 1 \times (-315) = 676 + 1260 = 1936
]
Найдём корни:
[
v = \frac{26 \pm \sqrt{1936}}{2}
]
[
\sqrt{1936} = 44
]
Следовательно:
[
v = \frac{26 \pm 44}{2}
]
- Первый вариант:
[
v = \frac{26 + 44}{2} = \frac{70}{2} = 35
]
- Второй вариант:
[
v = \frac{26 - 44}{2} = \frac{-18}{2} = -9
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной (по условию), выбираем:
[
v = 35, \text{км/ч}
]
Ответ:
Собственная скорость катера — 35 км/ч.
