катер прошел 64 км против течения реки и 38 км по течению, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. найдите собственную скорость катера, если…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.

Дано:

• Расстояния:
  • против течения: 64 км
  • по течению: 38 км
• Время затраченное:
  • на путь по течению — на 1 час меньше, чем против течения
• Скорость течения реки: \( v_{р} = 3\, \text{км/ч} \)
• Обозначим собственную скорость катера: \( v \) (знак "собственная скорость" — это скорость без течения)

Шаг 1: Определим скорости катера относительно воды

• Скорость катера против течения: \( v_{против} = v - v_{р} = v - 3 \)
• Скорость катера по течению: \( v_{по} = v + v_{р} = v + 3 \)

Шаг 2: Запишем выражения для времени пути

• Время прохождения против течения: \[ t_{против} = \frac{64}{v - 3} \]

• Время прохождения по течению: \[ t_{по} = \frac{38}{v + 3} \]

Шаг 3: Используем условие по времени

Задача говорит, что время по течению меньше на 1 час, чем против течения: \[ t_{против} = t_{по} + 1 \]

Подставим выражения для времени: \[ \frac{64}{v - 3} = \frac{38}{v + 3} + 1 \]

Шаг 4: Решим уравнение

Перенесём всё в одну сторону: \[ \frac{64}{v - 3} - \frac{38}{v + 3} = 1 \]

Объединим левую часть на общем знаменателе: \[ \frac{64(v + 3) - 38(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 1 \]

Раскроем скобки в числителе: \[ 64v + 192 - 38v + 114 = 1 \times (v^2 - 9) \]

Вычислим числитель: \[ (64v - 38v) + (192 + 114) = 26v + 306 \]

Итак: \[ \frac{26v + 306}{v^2 - 9} = 1 \]

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель: \[ 26v + 306 = v^2 - 9 \]

Перенесем все в левую сторону: \[ v^2 - 9 - 26v - 306 = 0 \]

Объединим подобные: \[ v^2 - 26v - 315 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Используя дискриминант:

\[ D = (-26)^2 - 4 \times 1 \times (-315) = 676 + 1260 = 1936 \]

Найдём корни: \[ v = \frac{26 \pm \sqrt{1936}}{2} \]

\[ \sqrt{1936} = 44 \]

Следовательно: \[ v = \frac{26 \pm 44}{2} \]

• Первый вариант: \[ v = \frac{26 + 44}{2} = \frac{70}{2} = 35 \]
• Второй вариант: \[ v = \frac{26 - 44}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной (по условию), выбираем: \[ v = 35\, \text{км/ч} \]

Ответ:

Собственная скорость катера — 35 км/ч.