№1. В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол  . Боковая поверхность равна 16  . Найдите его объем.

Давайте подробно разберем задачу по шагам. **Дано:** - Стороны основания прямого параллелепипеда: 1 см и 2 см. - Угол между сторонами основания: \( \theta \). - Площадь боковой поверхности: 16 см². - Требуется найти объем параллелепипеда. --- ### Шаг 1. Определим площадь основания Площадь основания (прямоугольника) равна произведению двух сторон: \[ S_{\text{основания}} = 1 \times 2 = 2 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 2. Запишем формулу площади боковой поверхности Боковая поверхность прямого параллелепипеда — это сумма площадей четырех боковых граней. Если высота параллелепипеда — \( h \), то: - Два боковых ребра — это стороны основания, перпендикулярные высоте. - Площадь боковой поверхности равна сумме длин всех боковых сторон, умноженных на высоту. Если стороны основания образуют угол \( \theta \), то площади боковых граней, лежащих напротив этих сторон, равны: \[ \text{Боковая поверхность} = 2 \times (\text{длина основания} \times h \times \text{cos} \theta) \] Но для правильного вычисления боковой площади лучше рассмотреть каждую сторону отдельно: - Боковая грань, прилегающая к стороне 1 см: \[ \text{Площадь} = 1 \times h_{\text{наклонная}} \] - Боковая грань, прилегающая к стороне 2 см: \[ \text{Площадь} = 2 \times h_{\text{наклонная}} \] Поскольку стороны основания образуют угол \( \theta \), то высота \( h \) связана с наклонной по гипотенузе через угол \( \theta \): \[ h_{\text{наклонная}} = h / \cos \theta \] Но в данной задаче проще воспользоваться формулой для боковой площади, если рассматривать с учетом угла. --- ### Шаг 3. Используем формулу боковой поверхности Для параллелепипеда, где стороны основания под углом \( \theta \), площадь боковой поверхности равна: \[ S_{\text{боковая}} = 2h (a + b) \] Но поскольку стороны образуют угол \( \theta \), их "эффективные" длины по диагональным направлениям будут зависеть от \( \theta \). Более правильный подход — использовать интерпретацию боковой поверхности как сумму трех видимых граней, предполагая, что высота \( h \) — перпендикуляр к основанию. --- ### Шаг 4. Найдем высоту \( h \) Площадь боковой поверхности равна 16 см². Обычно в таких задачах предполагается, что боковая поверхность — это сумма четырех боковых граней, каждая из которых — прямоугольник с одной стороной, равной стороне основания, и другой — высотным ребром \( h \). Если стороны основания образуют угол \( \theta \), то площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{боковая}} = (a + b) \times h \] Но стоит учесть, что каждый боковой прямоугольник — это грань, прилегающая к ребру, и их площади могут зависеть от угла. --- ### Итоговое решение: Для задачу с учетом угла между сторонами основания и боковой поверхности, наиболее очевидный и правильный подход — следующий: - Площадь боковой поверхности = длина периметра боковой стороны \(\times h\) Значит, если боковая поверхность равна 16 см², и основание — прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см, то: \[ P_{\text{боковая}} = 2 \times (a + b) = 2 \times (1 + 2) = 6 \text{ см} \] А потому: \[ S_{\textобб}} = P_{\text{боковая}} \times h \] Отсюда: \[ 16 = 6 \times h \implies h = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \text{ см} \] **Обратите внимание:** В условии говорится, что стороны основания образуют угол, что указывает на возможное наклонное построение. Но так как боковая поверхность равна 16, что соответствует периметру боковых граней, то получаем, что: ### Шаг 5. Расчет объема Объем параллелепипеда — это площадь основания, умноженная на высоту: \[ V = S_{\text{основания}} \times h = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \text{ см}^3 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{16}{3} \text{ см}^3 } \] Объем параллелепипеда равен \(\frac{16}{3}\) кубических сантиметров.