Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Расстояние против течения = 176 км
- Время на путь против течения = ( t_1 )
- Время на обратный путь по течению = ( t_2 )
- Время на обратный путь меньше времени против течения на 3 часа: ( t_1 - t_2 = 3 )
- Скорость течения ( v_т = 3 ) км/ч
- Нужно найти скорость лодки в неподвижной воде ( v_л )
Шаг 1: Запишем известные формулы
Пусть:
- ( v_л ) — скорость лодки в неподвижной воде (что нужно найти)
- ( v_т = 3 ) — скорость течения
Скорость лодки внутри реки:
- против течения: ( v_1 = v_л - v_т )
- по течению: ( v_2 = v_л + v_т )
Время дороги:
- против течения: ( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{176}{v_л - 3} )
- по течению: ( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{176}{v_л + 3} )
По условию: ( t_1 - t_2 = 3 )
Шаг 2: Запишем уравнение
[
\frac{176}{v_л - 3} - \frac{176}{v_л + 3} = 3
]
Шаг 3: Решим уравнение
Объединим левую часть, чтобы избавиться от дробей:
[
\frac{176(v_л + 3) - 176(v_л - 3)}{(v_л - 3)(v_л + 3)} = 3
]
Раскроем скобки в числителе:
[
176v_л + 176 \times 3 - 176v_л + 176 \times 3 = 3 (v_л^2 - 9)
]
Обратите внимание, что ( 176v_л - 176v_л = 0 ), а remainingсумма:
[
176 \times 3 + 176 \times 3 = 2 \times 176 \times 3
]
Воспользуемся подсказкой:
[
2 \times 176 \times 3 = 2 \times 528 = 1056
]
Теперь уравнение принимает вид:
[
\frac{1056}{v_л^2 - 9} = 3
]
Шаг 4: Решим полученное уравнение
Перемножим обе части на ( v_л^2 - 9 ):
[
1056 = 3 (v_л^2 - 9)
]
Разобьём правую часть:
[
1056 = 3v_л^2 - 27
]
Перенесём все в уравнение:
[
3v_л^2 = 1056 + 27 = 1083
]
Найдем ( v_л^2 ):
[
v_л^2 = \frac{1083}{3} = 361
]
И, соответственно, ( v_л ):
[
v_л = \pm \sqrt{361} = \pm 19
]
Так как речь о скорости, то берем положительное значение:
[
\boxed{v_л = 19 \text{ км/ч}}
]
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде — 19 км/ч.
