Дан правильный треугольник, высота которого равна 6 см. Найдите радиус вписанной окружности треугольника
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все этапы.
Дано:
- Треугольник — правильный (равносторонний).
- Высота (h) = 6 см.
Найти:
- Радиус вписанной окружности (r).
Шаг 1: Свойства правильного (равностороннего) треугольника
В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все высоты, медианы и биссектрис совпадают.
Обозначим сторону треугольника за a.
Шаг 2: Связь между стороной и высотой
Высота в равностороннем треугольнике опускается на сторону и делит её пополам.
Формула высоты:
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a
\]
Подставим известное значение высоты:
\[
6 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a
\]
Решим это уравнение относительно a:
\[
a = \frac{6 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}
\]
Рассмотрим рационализацию:
\[
a = \frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}
\]
Итак, сторона:
\[
a = 4 \sqrt{3} \text{ см}
\]
Шаг 3: Формула радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности (r) для равностороннего треугольника связан со стороной формулой:
\[
r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}
\]
Подставим найденное значение стороны:
\[
r = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{4 \cancel{\sqrt{3}}}{2 \cancel{\sqrt{3}}} = 2
\]
Ответ:
Радиус вписанной окружности равен 2 см.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с похожими задачами — обращайтесь!
