Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Есть два цилиндрических сосуда.
- Первый сосуд в 2 раза выше второго.
- Второй сосуд в 2 раза уже первого.
Задача: найти, во сколько раз объём второго сосуда меньше объёма первого.
Шаг 1. Обозначение переменных
Пусть:
- ( h_1 ) — высота первого сосуда,
- ( r_1 ) — радиус основания первого сосуда,
- ( h_2 ) — высота второго сосуда,
- ( r_2 ) — радиус основания второго сосуда.
Шаг 2. Записать условия высот
По условию:
- ( h_1 = 2h_2 ) (первый сосуд в 2 раза выше второго),
- ( h_2 = \frac{1}{2} h_1 ).
Так как они противоречат (один в 2 раза выше другого и наоборот), то не важно, какую сторону взять — возьмём оба утверждения одновременно.
Из второго условия ( h_2 = \frac{1}{2} h_1 ).
Шаг 3. Условие о ширине сосудов
"Второй сосуд в 2 раза уже первого" — означает:
- радиус второго сосуда в 2 раза меньше радиуса первого.
То есть:
[
r_2 = \frac{r_1}{2}
]
Шаг 4. Запись объёмов сосудов
Объём цилиндра:
[
V = \pi r^2 h
]
Для первого сосуда:
[
V_1 = \pi r_1^2 h_1
]
Для второго сосуда:
[
V_2 = \pi r_2^2 h_2
]
Подставим ( r_2 = \frac{r_1}{2} ) и ( h_2 = \frac{h_1}{2} ):
[
V_2 = \pi \left( \frac{r_1}{2} \right)^2 \times \frac{h_1}{2} = \pi \times \frac{r_1^2}{4} \times \frac{h_1}{2} = \pi r_1^2 h_1 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \pi r_1^2 h_1 \times \frac{1}{8}
]
А для первого:
[
V_1 = \pi r_1^2 h_1
]
Шаг 5. Соотношение объёмов
Теперь найдём отношение:
[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r_1^2 h_1 \times \frac{1}{8}}{\pi r_1^2 h_1} = \frac{1}{8}
]
Ответ: объём второго сосуда в 8 раз меньше объёма первого.
Итог:
Второй сосуд в 8 раз меньше по объёму первого.
