11. Даны два сосуда цилиндрической формы. Первый сосуд в 2 раза выше второго, а второй в 2 раза уже первого. Во сколько раз объём второго сосуда меньше объёма первого сосуда?

Давайте подробно решим задачу.

Дано:

• Есть два цилиндрических сосуда.
• Первый сосуд в 2 раза выше второго.
• Второй сосуд в 2 раза уже первого.

Задача: найти, во сколько раз объём второго сосуда меньше объёма первого.

Шаг 1. Обозначение переменных

Пусть:

• \( h_1 \) — высота первого сосуда,
• \( r_1 \) — радиус основания первого сосуда,
• \( h_2 \) — высота второго сосуда,
• \( r_2 \) — радиус основания второго сосуда.

Шаг 2. Записать условия высот

По условию:

• \( h_1 = 2h_2 \) (первый сосуд в 2 раза выше второго),
• \( h_2 = \frac{1}{2} h_1 \).

Так как они противоречат (один в 2 раза выше другого и наоборот), то не важно, какую сторону взять — возьмём оба утверждения одновременно.

Из второго условия \( h_2 = \frac{1}{2} h_1 \).

Шаг 3. Условие о ширине сосудов

"Второй сосуд в 2 раза уже первого" — означает:

• радиус второго сосуда в 2 раза меньше радиуса первого.

То есть: \[ r_2 = \frac{r_1}{2} \]

Шаг 4. Запись объёмов сосудов

Объём цилиндра: \[ V = \pi r^2 h \]

Для первого сосуда: \[ V_1 = \pi r_1^2 h_1 \] Для второго сосуда: \[ V_2 = \pi r_2^2 h_2 \]

Подставим \( r_2 = \frac{r_1}{2} \) и \( h_2 = \frac{h_1}{2} \):

\[ V_2 = \pi \left( \frac{r_1}{2} \right)^2 \times \frac{h_1}{2} = \pi \times \frac{r_1^2}{4} \times \frac{h_1}{2} = \pi r_1^2 h_1 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \pi r_1^2 h_1 \times \frac{1}{8} \]

А для первого: \[ V_1 = \pi r_1^2 h_1 \]

Шаг 5. Соотношение объёмов

Теперь найдём отношение:

\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r_1^2 h_1 \times \frac{1}{8}}{\pi r_1^2 h_1} = \frac{1}{8} \]

Ответ: объём второго сосуда в 8 раз меньше объёма первого.

Итог:

Второй сосуд в 8 раз меньше по объёму первого.