В окружности с центром в точке  O диаметр  TS и хорда  KM пересекаются в точке Q под прямым углом. Найди периметр треугольника  OKM, если  QM=8 см, а  ∠OMK=60∘

Давайте подробно разберем задачу и найдем периметр треугольника \( OKM \). --- ### Дано: - В окружности с центром \( O \) есть диаметр \( TS \). - Хорда \( KM \) пересекается с диаметром в точке \( Q \). - \( Q \) — точка пересечения, и \( углы \( Q \) сформировывают прямой угол (\( \angle Q \) — прямой, то есть 90°). - \( QM = 8 \text{ см} \). - \( \angle OMK = 60^\circ \). --- ### Что нужно найти? - Периметр треугольника \( OKM \). --- ### Шаг 1. Анализ условий 1. Поскольку \( TS \) — диаметр окружности, то: \[ OT = OS = R \quad \text{(радиус окружности)}, \quad \text{и} \quad T, S \text{ — точки диаметра}. \] 2. \( Q \) — точка пересечения \( KM \) с диаметром \( TS \). И поскольку \( Q \) — точка пересечения, и \( \angle Q = 90^\circ \), то: \[ Q \text{ — точка пересечения хорды \( KM \) с диаметром } TS, \] при этом \( \angle Q \) — прямой, что характерно для теоремы о вписанном угле, приписываемой длине. --- ### Шаг 2. Свойства и ориентация - В окружности, если \( Q \) — точка пересечения с диаметром \( TS \), то: \[ Q \text{ — точка, где хорда \( KM \) пересекает диаметр } TS, \] и при этом \( \angle KQM = 90^\circ \) (по условию). --- ### Шаг 3. Используем известные углы и длины Отметим, что: - \( QM = 8 \text{ см} \). - \( \angle OMK = 60^\circ \), где: \( O \) — центр окружности, \( K \) и \( M \) — точки на окружности. --- ### Шаг 4. Анализ треугольника \( OMK \) Треугольник \( OMK \): - \( O \) — центр окружности. - \( K \) — точка на окружности, следовательно, \( OK = R \). - \( M \) — точка на окружности, следовательно, \( OM = R \). - \( \angle OMK = 60^\circ \), это угол между радиусами \( OM \) и \( OK \) (или угол между радиусами, исходящими из центра). Так как радиусы \( OM \) и \( OK \): \[ OM = OK = R, \] то треугольник \( OMK \) — равнобедренный. Известно, что угол при основании равнобедренного треугольника \( OMK \): \[ \angle OMK = 60^\circ, \] поэтому: \[ \text{База } MK \text{ — сторона треугольника } (может быть найдена). --- ### Шаг 5. Определение длины \( MK \) В равнобедренном треугольнике \( OMK \): - \( OM = OK = R \), - \( \angle OMK = 60^\circ \). Используем формулу для стороны \( MK \): \[ MK = 2R \sin \frac{\angle OMK}{2} = 2R \sin 30^\circ = 2R \times 0.5 = R. \] Следовательно, \[ MK = R. \] --- ### Шаг 6. Связь длины \( QM \) Из условия: \[ QM = 8 \text{ см}. \] Так как \( Q \) — точка пересечения хорды \( KM \) и диаметра \( TS \), и \( \angle Q \) — прямой, то \( Q \) лежит на прямой \( TS \) и, скорее всего, использует свойства подобия или расстояния между точками на окружности. --- ### Шаг 7. Рассмотрение треугольника \( OKM \): - \( OK = R \), - \( OM = R \), - \( KM \) — сторона, рассчитанная как \( R \). Также, если \( M \) — точка на окружности, то: \[ OM = R, \] и если \( K \) — тоже точка на окружности, то: \[ OK = R. \] --- ### Шаг 8. Подсчет периметра треугольника \( OKM \) Так как \( O \) — центр, а \( K \), \( M \) — точки на окружности: \[ OK = R, \] \[ OM = R, \] \[ KM = R. \] Но поскольку \( KM \) — сторона окружности, она должна быть чуть больше или равно радиуса, если \( K \) и \( M \) — разные точки на окружности. Исходя из вычислений, сторона \( KM \) равна \( R \): \[ \boxed{ \text{Периметр } P = OK + OM + KM = R + R + R = 3R. } \] --- ### Итог: Нам нужно выразить \( R \), исходя из данных \( QM \) и углов. ### Связь \( QM \) Предположим, что \( Q \) лежит на диаметре \( TS \), где \( T S \) — диаметр, и \( Q \) — точка пересечения хорды \( K M \), прямой, и эта хорда произведет угол 90°, что создает условия для использования теоремы о расстоянии. --- ### **Ответ:** Детальное решение предполагает, что итоговая длина радиуса \( R \) связана с длиной \( QM=8 \) см и углами. В рассмотренной ситуации все три стороны \( OK \), \( OM \), \( KM \) равны \( R \), что дает: \[ \boxed{ \text{Периметр } P = 3R. } \] Чтобы получить точное число, требуется дополнительно определить радиус \( R \), исходя из условий задачи, но исходя из данных, периметр треугольника \( OKM \): \[ \boxed{ \boxed{3 \times 8 = 24 \text{ см}}, } \] так как \( R = QM = 8 \text{ см} \). --- ### Итоговый ответ: \[ \boxed{ \text{Периметр треугольника } OKM = \boxed{24 \text{ см}}. } \] Если есть вопросы или нужны уточнения — обращайтесь!