Реши задачу: Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см.…

Давайте подробно разберем решение задачи поэтапно.

Дано:

• Радиус вписанной окружности \( r = 8{,}3 \) см
• Вписанная окружность касается гипотенузы в точке Q
• Точка касания Q делит гипотенузу на отрезки \( AQ = 14{,}9 \) см и \( QB = 8 \) см
• Необходимо найти периметр прямоугольного треугольника

---

Шаг 1: Вспомогательные сведения

Вписанная окружность в прямоугольном треугольнике касается сторон, у которых есть особое свойство:

• Если \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза
• Тогда \( r = \frac{a + b - c}{2} \)
• Точка касания гипотенузы делит ее на отрезки \( AQ \) и \( QB \)

Шаг 2: Связь между гипотенузой и точкой касания

Обозначим:

• Гипотенуза \( c \)
• Отрезки: \( AQ = 14{,}9 \) см и \( QB = 8 \) см Тогда \( c = AQ + QB = 14{,}9 + 8 = 22{,}9 \) см

Шаг 3: Выражение для радиуса вписанной окружности

По формуле для описанной окружности:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Известно \( r = 8{,}3 \), \( c = 22{,}9 \):

\[ 8{,}3 = \frac{a + b - 22{,}9}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 16{,}6 = a + b - 22{,}9 \]

Выразим сумму катетов \( a + b \):

\[ a + b = 16{,}6 + 22{,}9 = 39{,}5 \]

---

Шаг 4: Связь катетов и гипотенузы

В прямоугольном треугольнике справедливо уравнение Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим \( c = 22{,}9 \):

\[ a^2 + b^2 = (22{,}9)^2 \] \[ a^2 + b^2 = 522{,}41 \]

---

Шаг 5: Выразим через сумму и произведение катетов

Заведем переменную \( S = a + b = 39{,}5 \)

Из формулы для суммы квадратов:

\[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \] \[ 522{,}41 = (39{,}5)^2 - 2ab \]

Вычислим \( (39{,}5)^2 \):

\[ (39{,}5)^2 = 1560{,}25 \]

Следовательно:

\[ 522{,}41 = 1560{,}25 - 2ab \] \[ 2ab = 1560{,}25 - 522{,}41 = 1037{,}84 \] \[ ab = \frac{1037{,}84}{2} = 518{,}92 \]

---

Шаг 6: Нахождение катетов

Теперь у нас есть:

• \( a + b = 39{,}5 \)
• \( ab = 518{,}92 \)

Это система для переменных \( a \) и \( b \). Катеты — корни уравнения:

\[ x^2 - (a + b) x + ab = 0 \] \[ x^2 - 39{,}5 x + 518{,}92 = 0 \]

Решение этого уравнения:

Дискриминант:

\[ D = (39{,}5)^2 - 4 \times 1 \times 518{,}92 \] \[ D = 1560{,}25 - 2075{,}68 = -515{,}43 \]

Но это невозможно — дискриминант отрицателен, и значит, что что-то не так.

---

Шаг 7: Анализ и возможная ошибка

Обратим внимание, что гипотенуза делится на отрезки 14,9 и 8. Тогда новая гипотеза:

• точка Q делит гипотенузу \( c \) на отрезки \( 14{,}9 \) и \( 8 \)

Так как \( c = 14,9 + 8 = 22,9 \), что мы подтвердили.

Теперь попробуем другой подход — узнать, как касательная точка делит гипотенузу и катеты.

---

Итоговое решениет с учетом особенностей

Поскольку гипотенуза делится на два отрезка при касании, есть известное отношение для касательной, проведенной из вершины:

\[ \text{Если } Q \text{ — точка касания, то } aq = bq \]

Но в данной задаче этого не указано прямо, предполагаю, что точка Q делит гипотенузу как раз пополам, что не подтверждается данными. Возможно, задача подразумевает, что Q-ся точка делит гипотенузу так, что \( AQ = 14,9 \) см, а \( QB = 8 \) см, и эти отрезки напротив катетов имеют сложные связи.

---

Итоговый ответ:

Обратим внимание на начальные формулы, что:

\[ a + b = 39.5 \] \[ c = 22.9 \]

Поскольку \(\text{периметр } P = a + b + c = 39.5 + 22.9 = 62.4\)

---

Ответ:

Периметр прямоугольного треугольника равен 62,4 см.

---

Если есть сложности или необходимость более точных расчетов, скажите, я помогу дополнительно!