Реши задачу: Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см. Вырази ответ в см.

Давайте подробно разберем решение задачи поэтапно. **Дано:** - Радиус вписанной окружности \( r = 8{,}3 \) см - Вписанная окружность касается гипотенузы в точке Q - Точка касания Q делит гипотенузу на отрезки \( AQ = 14{,}9 \) см и \( QB = 8 \) см - Необходимо найти периметр прямоугольного треугольника --- ### Шаг 1: Вспомогательные сведения Вписанная окружность в прямоугольном треугольнике касается сторон, у которых есть особое свойство: - Если \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза - Тогда \( r = \frac{a + b - c}{2} \) - Точка касания гипотенузы делит ее на отрезки \( AQ \) и \( QB \) ### Шаг 2: Связь между гипотенузой и точкой касания Обозначим: - Гипотенуза \( c \) - Отрезки: \( AQ = 14{,}9 \) см и \( QB = 8 \) см Тогда \( c = AQ + QB = 14{,}9 + 8 = 22{,}9 \) см ### Шаг 3: Выражение для радиуса вписанной окружности По формуле для описанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Известно \( r = 8{,}3 \), \( c = 22{,}9 \): \[ 8{,}3 = \frac{a + b - 22{,}9}{2} \] Умножим обе части на 2: \[ 16{,}6 = a + b - 22{,}9 \] Выразим сумму катетов \( a + b \): \[ a + b = 16{,}6 + 22{,}9 = 39{,}5 \] --- ### Шаг 4: Связь катетов и гипотенузы В прямоугольном треугольнике справедливо уравнение Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \( c = 22{,}9 \): \[ a^2 + b^2 = (22{,}9)^2 \] \[ a^2 + b^2 = 522{,}41 \] --- ### Шаг 5: Выразим через сумму и произведение катетов Заведем переменную \( S = a + b = 39{,}5 \) Из формулы для суммы квадратов: \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \] \[ 522{,}41 = (39{,}5)^2 - 2ab \] Вычислим \( (39{,}5)^2 \): \[ (39{,}5)^2 = 1560{,}25 \] Следовательно: \[ 522{,}41 = 1560{,}25 - 2ab \] \[ 2ab = 1560{,}25 - 522{,}41 = 1037{,}84 \] \[ ab = \frac{1037{,}84}{2} = 518{,}92 \] --- ### Шаг 6: Нахождение катетов Теперь у нас есть: - \( a + b = 39{,}5 \) - \( ab = 518{,}92 \) Это система для переменных \( a \) и \( b \). Катеты — корни уравнения: \[ x^2 - (a + b) x + ab = 0 \] \[ x^2 - 39{,}5 x + 518{,}92 = 0 \] Решение этого уравнения: Дискриминант: \[ D = (39{,}5)^2 - 4 \times 1 \times 518{,}92 \] \[ D = 1560{,}25 - 2075{,}68 = -515{,}43 \] Но это невозможно — дискриминант отрицателен, и значит, что что-то не так. --- ### Шаг 7: Анализ и возможная ошибка Обратим внимание, что гипотенуза делится на отрезки 14,9 и 8. Тогда новая гипотеза: - точка Q делит гипотенузу \( c \) на отрезки \( 14{,}9 \) и \( 8 \) Так как \( c = 14,9 + 8 = 22,9 \), что мы подтвердили. Теперь попробуем другой подход — узнать, как касательная точка делит гипотенузу и катеты. --- ### Итоговое решениет с учетом особенностей Поскольку гипотенуза делится на два отрезка при касании, есть известное отношение для касательной, проведенной из вершины: \[ \text{Если } Q \text{ — точка касания, то } aq = bq \] Но в данной задаче этого не указано прямо, предполагаю, что точка Q делит гипотенузу как раз пополам, что не подтверждается данными. Возможно, задача подразумевает, что Q-ся точка делит гипотенузу так, что \( AQ = 14,9 \) см, а \( QB = 8 \) см, и эти отрезки напротив катетов имеют сложные связи. --- ### Итоговый ответ: Обратим внимание на начальные формулы, что: \[ a + b = 39.5 \] \[ c = 22.9 \] Поскольку \(\text{периметр } P = a + b + c = 39.5 + 22.9 = 62.4\) --- **Ответ:** ### Периметр прямоугольного треугольника равен **62,4 см**. --- Если есть сложности или необходимость более точных расчетов, скажите, я помогу дополнительно!