Кубик бросает в 7 раз. случайная величина Z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала двойка. найдите вероятность того что Z = 4.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача:
Кубик бросают 7 раз. Случайная величина \( Z \) — это число случаев, когда выпала двойка. Нужно найти вероятность того, что \( Z = 4 \).
Шаг 1: Определение модели задачи
Поскольку в каждом броске кубика исходом является число от 1 до 6, и все исходы равновероятны:
Вероятность того, что выпала двойка в одном броске:
\[ p = \frac{1}{6} \]Вероятность, что не выпала двойка:
\[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \]
Шаг 2: Абсолютная формуляция задачи
Из условий видно, что:
- Количество бросков — 7
- Каждое решение — независимый эксперимент
- Искомая случайная величина \( Z \) — число успехов (выпадение двойки) за 7 бросков
Это классическая задача на применение биномиального распределения:
\[ P(Z = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( n = 7 \)
- \( k = 4 \)
- \( p = \frac{1}{6} \)
- \( q = \frac{5}{6} \)
Шаг 3: Подставляем известные значения
Нужна вероятность, что \( Z = 4 \):
\[ P(Z=4) = C_7^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{3} \]
где
\[ C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \]
Шаг 4: Вычисляем комбинаторное число
\[ C_7^4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]
Шаг 5: Подставляем и вычисляем вероятность
Теперь:
\[ P(Z=4) = 35 \times \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
Посчитаем каждое число по отдельности:
\[ \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296} \]
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]
Объединяем:
\[ P(Z=4) = 35 \times \frac{1}{1296} \times \frac{125}{216} \]
Шаг 6: Упростим выражение
Перемножим числители и знаменатели:
\[ P(Z=4) = 35 \times 125 \div (1296 \times 216) \]
Вычислим числитель:
\[ 35 \times 125 = 4375 \]
Вычислим знаменатель:
\[ 1296 \times 216 \]
Для этого произведения:
\[ 1296 \times 216 \] Можно упростить:
\[ 1296 \times 216 = (1300 - 4) \times 216 = 1300 \times 216 - 4 \times 216 \]
\[ 1300 \times 216 = 280800 \]
\[ 4 \times 216 = 864 \]
Следовательно:
\[ 1296 \times 216 = 280800 - 864 = 279936 \]
Итоговое выражение:
\[ P(Z=4) = \frac{4375}{279936} \]
Это — точная вероятность, можно оставить так или приблизительно вычислить численно:
\[ P(Z=4) \approx 0.01563 \]
Ответ:
\[ \boxed{ P(Z=4) = \frac{4375}{279936} \approx 0.01563 } \]
Это вероятность того, что при 7 бросках кубика выпадет ровно 4 двойки.
