Кубик бросает в 7 раз. случайная величина Z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала двойка. найдите вероятность того что Z = 4.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Задача:** Кубик бросают 7 раз. Случайная величина \( Z \) — это число случаев, когда выпала двойка. Нужно найти вероятность того, что \( Z = 4 \). --- ### Шаг 1: Определение модели задачи Поскольку в каждом броске кубика исходом является число от 1 до 6, и все исходы равновероятны: - Вероятность того, что выпала двойка в одном броске: \[ p = \frac{1}{6} \] - Вероятность, что не выпала двойка: \[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \] --- ### Шаг 2: Абсолютная формуляция задачи Из условий видно, что: - Количество бросков — 7 - Каждое решение — независимый эксперимент - Искомая случайная величина \( Z \) — число успехов (выпадение двойки) за 7 бросков Это классическая задача на применение биномиального распределения: \[ P(Z = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( n = 7 \) - \( k = 4 \) - \( p = \frac{1}{6} \) - \( q = \frac{5}{6} \) --- ### Шаг 3: Подставляем известные значения Нужна вероятность, что \( Z = 4 \): \[ P(Z=4) = C_7^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{3} \] где \[ C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \] --- ### Шаг 4: Вычисляем комбинаторное число \[ C_7^4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \] --- ### Шаг 5: Подставляем и вычисляем вероятность Теперь: \[ P(Z=4) = 35 \times \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 \] Посчитаем каждое число по отдельности: \[ \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296} \] \[ \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \] Объединяем: \[ P(Z=4) = 35 \times \frac{1}{1296} \times \frac{125}{216} \] --- ### Шаг 6: Упростим выражение Перемножим числители и знаменатели: \[ P(Z=4) = 35 \times 125 \div (1296 \times 216) \] Вычислим числитель: \[ 35 \times 125 = 4375 \] Вычислим знаменатель: \[ 1296 \times 216 \] Для этого произведения: \[ 1296 \times 216 \] Можно упростить: \[ 1296 \times 216 = (1300 - 4) \times 216 = 1300 \times 216 - 4 \times 216 \] \[ 1300 \times 216 = 280800 \] \[ 4 \times 216 = 864 \] Следовательно: \[ 1296 \times 216 = 280800 - 864 = 279936 \] --- ### Итоговое выражение: \[ P(Z=4) = \frac{4375}{279936} \] Это — точная вероятность, можно оставить так или приблизительно вычислить численно: \[ P(Z=4) \approx 0.01563 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ P(Z=4) = \frac{4375}{279936} \approx 0.01563 } \] Это вероятность того, что при 7 бросках кубика выпадет ровно 4 двойки.