ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС Домашнее задание для подготовки к контрольной работе по теме «Окружность» №1 На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 92°. Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. No2 Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 56°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах. No3 Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции. Ответ дайте в градусах. №4. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен радиус окружности, вписанной в этот квадрат 14√2. Найдите №5. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Конечно! Вот подробные решения по каждому заданию, адаптированные для 8 класса, с объяснениями. --- ### №1. На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 92°. Прямая ВС касается окружности в точке В, угол АВС — острый. Нужно найти угол АВС. **Решение:** 1. **Знать, что дуги и углы:** - Меньшая дуга АВ равна 92°. - Так как это дуга, то угол при вершине, образованный двумя радиусами, — это вписанный угол, который равен половине дуги, на которую он опирается. 2. **Расставим все понятия:** - Пусть точка C — точка касания прямой ВC с окружностью в В. - Угол АВС — внешний угол к дуге АВ, потому что он образуются с касательной (прямой ВC). 3. **Что означает острота угла АВС?** - Угол АВС — это угол между касательной ВC и хордой АВ (или радиусом в точке В). 4. **Значит:** - Угол \(\angle ACB\) равен полу дуги АВ, то есть \(92°/2 = 46°\). 5. **Рассмотрим треугольник ACB:** - В треугольнике \(\triangle ABC\), угол \(\angle ACB = 46°\). - Кроме того, касательная ВC и радиус в В образуют 90°, потому что касательная в точке касания перпендикулярна радиусу. 6. **Используем свойства:** - Так как В — точка касания, то \(\angle ABC\) — это искомый угол. 7. **Ответ:** - Итак, у нас есть треугольник с известными углами: один угол — 46°, остальные два нужно определить. - Важный факт: так как угол \(\angle ABC\) — это внешний угол, он равен разности между переменами дуг и углов (что немного сложнее). - Связь: \(\angle ABC\) — это острый угол, образованный касательной и хордой. **Простое решение:** - Угол между касательной и хордой \(\angle ABC\) равен половине разности дуг, ограничивающих дугу. - А дуга, не содержащая В, равна \(360° - 92° = 268°\). - Тогда, по свойствам, \(\angle ABC = \frac{1}{2}(268° - 92°) = \frac{1}{2}(176°) = 88°\). **Ответ:** \(\boxed{88°}\) --- ### №2. Вписанный четырёхугольник ABCD, угол A = 56°. Найти угол C. **Решение:** 1. **Основное свойство:** - Вписанный четырёхугольник — это такой, у которого все вершины lie on окружности. - Вписанный четырёхугольник сумма противолежащих углов равна 180°. 2. **Противолежащие углы:** - Углы A и C — противолежащие в четырёхугольнике. 3. **Используем сумму:** \[ \angle A + \angle C = 180° \] Заменим: \[ 56° + \angle C = 180° \] Тогда: \[ \angle C = 180° - 56° = 124° \] **Ответ:** \(\boxed{124°}\) --- ### №3. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 77°. Найти угол C. **Решение:** 1. **Рассъяснение:** - Вписанная трапеция — это трапеция, у которой основания лежат на окружности. - Вписанная трапеция — это равнобедренная, и ее противолежащие углы равны. 2. **Обозначения:** - Пусть \(\angle A = 77^\circ\), - необходимо найти \(\angle C\). 3. **Свойство:** - Вписанная трапеция — это равнобедренная, и противолежащие углы равны. - Вписанный четырёхугольник — сумма противолежащих углов равна 180°, причем это справедливо для любого вписанного четырёхугольника. 4. **Использование:** - Вписанный четырехугольник, и противоположные углы суммируются в 180°. - Так как это трапеция, то \(\angle A = \angle D\) (если основания параллельны). - Углы A и C — противоположные, но в основном свойстве: сумма углов A и C тоже равна 180°. 5. **Ответ:** \[ \angle C = 180° - \angle A = 180° - 77° = 103° \] **Ответ:** \(\boxed{103°}\) --- ### №4. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен радиусу окружности, вписанной в квадрат — это \(14\sqrt{2}\). Найти сторону квадрата. **Решение:** 1. **Обозначим:** - \(a\) — сторона квадрата. - Радиус описанной окружности (вокруг квадрата) равен \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) (это радиус описанной окружности). 2. **Радиус вписанной окружности:** - Радиус вписанной окружности равен \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\). 3. **Дано:** \[ r_{\text{описанной}} = r_{\text{вписанной}} = 14\sqrt{2} \] 4. **Запишем равенства:** \[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2} \] 5. **Решим уравнение:** \[ a\sqrt{2} = 2 \times 14\sqrt{2} \] \[ a\sqrt{2} = 28\sqrt{2} \] \[ a = 28 \] **Ответ:** \(\boxed{28}\) --- ### №5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найти угол АВО. **Решение:** 1. **Понимаем ситуацию:** - В окружности есть две касательные: А и В. - Углы, образованные касательными и радиусами (AO и BO), равны 90°. 2. **Что дано:** - Угол между касательными \(\angle AOB = 72^\circ\). 3. **Задача:** - Найти угол \(\angle AOB\) — это угол, образованный касательными. - Но обычно в таких задачах, чтобы найти угол у центра, используют свойства касательных и радиусов. 4. **Строим:** - Рассматриваем треугольник \(\triangle AOB\), где AO и BO — радиусы, а угол \(\angle AOB\) — угол при центре. 5. **Правило:** - Углы при радиусах, проведённых к точкам касания, перпендикулярны касательным. - Угол \(\angle AOB\) — это центральный угол, опирающийся на дугу, ограниченную точками A и B. 6. **Теорема:** - Углы между касательными: \(\angle AOB\) и дуга A B связаны через: \[ \text{Угол между касательными} = 180^\circ - \text{участок дуги} \] или в более общем виде: углы, образованные касательными, связаны с дугами. 7. **Рассмотрим:** - Рассмотрим касательные \(\angle AOB = 72^\circ\). - Тогда, угол, образованный радиусами в точках касания (AO и BO), равен \(90^\circ\). 8. **Ответ:** - В задаче ищется \(\angle AVO\), где V — точка пересечения касательных. - Углы касательных: \(\angle AVO = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle AOB)\). Тогда: \[ \angle AVO = \frac{1}{2} (180^\circ - 72^\circ) = \frac{1}{2} \times 108^\circ = 54^\circ \] **Ответ:** \(\boxed{54^\circ}\) --- Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь в более сложных задачах, обращайтесь!