ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС Домашнее задание для подготовки к контрольной работе по теме «Окружность» №1 На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 92°. Прямая ВС…

Конечно! Вот подробные решения по каждому заданию, адаптированные для 8 класса, с объяснениями.

№1. На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 92°. Прямая ВС касается окружности в точке В, угол АВС — острый. Нужно найти угол АВС.

Решение:

1. Знать, что дуги и углы:

   • Меньшая дуга АВ равна 92°.
   • Так как это дуга, то угол при вершине, образованный двумя радиусами, — это вписанный угол, который равен половине дуги, на которую он опирается.

2. Расставим все понятия:

   • Пусть точка C — точка касания прямой ВC с окружностью в В.
   • Угол АВС — внешний угол к дуге АВ, потому что он образуются с касательной (прямой ВC).

3. Что означает острота угла АВС?

   • Угол АВС — это угол между касательной ВC и хордой АВ (или радиусом в точке В).

4. Значит:

   • Угол \(\angle ACB\) равен полу дуги АВ, то есть \(92°/2 = 46°\).

5. Рассмотрим треугольник ACB:

   • В треугольнике \(\triangle ABC\), угол \(\angle ACB = 46°\).
   • Кроме того, касательная ВC и радиус в В образуют 90°, потому что касательная в точке касания перпендикулярна радиусу.

6. Используем свойства:

   • Так как В — точка касания, то \(\angle ABC\) — это искомый угол.

7. Ответ:

   • Итак, у нас есть треугольник с известными углами: один угол — 46°, остальные два нужно определить.
   • Важный факт: так как угол \(\angle ABC\) — это внешний угол, он равен разности между переменами дуг и углов (что немного сложнее).
   • Связь: \(\angle ABC\) — это острый угол, образованный касательной и хордой.

   Простое решение:

   • Угол между касательной и хордой \(\angle ABC\) равен половине разности дуг, ограничивающих дугу.
   • А дуга, не содержащая В, равна \(360° - 92° = 268°\).
   • Тогда, по свойствам, \(\angle ABC = \frac{1}{2}(268° - 92°) = \frac{1}{2}(176°) = 88°\).

Ответ: \(\boxed{88°}\)

№2. Вписанный четырёхугольник ABCD, угол A = 56°. Найти угол C.

Решение:

1. Основное свойство:

   • Вписанный четырёхугольник — это такой, у которого все вершины lie on окружности.
   • Вписанный четырёхугольник сумма противолежащих углов равна 180°.

2. Противолежащие углы:

   • Углы A и C — противолежащие в четырёхугольнике.

3. Используем сумму: \[ \angle A + \angle C = 180° \]

   Заменим: \[ 56° + \angle C = 180° \]

   Тогда: \[ \angle C = 180° - 56° = 124° \]

Ответ: \(\boxed{124°}\)

№3. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 77°. Найти угол C.

Решение:

1. Рассъяснение:

   • Вписанная трапеция — это трапеция, у которой основания лежат на окружности.
   • Вписанная трапеция — это равнобедренная, и ее противолежащие углы равны.

2. Обозначения:

   • Пусть \(\angle A = 77^\circ\),
   • необходимо найти \(\angle C\).

3. Свойство:

   • Вписанная трапеция — это равнобедренная, и противолежащие углы равны.
   • Вписанный четырёхугольник — сумма противолежащих углов равна 180°, причем это справедливо для любого вписанного четырёхугольника.

4. Использование:

   • Вписанный четырехугольник, и противоположные углы суммируются в 180°.
   • Так как это трапеция, то \(\angle A = \angle D\) (если основания параллельны).
   • Углы A и C — противоположные, но в основном свойстве: сумма углов A и C тоже равна 180°.

5. Ответ:

   \[ \angle C = 180° - \angle A = 180° - 77° = 103° \]

Ответ: \(\boxed{103°}\)

№4. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен радиусу окружности, вписанной в квадрат — это \(14\sqrt{2}\). Найти сторону квадрата.

Решение:

1. Обозначим:

   • \(a\) — сторона квадрата.
   • Радиус описанной окружности (вокруг квадрата) равен \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) (это радиус описанной окружности).

2. Радиус вписанной окружности:

   • Радиус вписанной окружности равен \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\).

3. Дано: \[ r_{\text{описанной}} = r_{\text{вписанной}} = 14\sqrt{2} \]

4. Запишем равенства: \[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2} \]

5. Решим уравнение: \[ a\sqrt{2} = 2 \times 14\sqrt{2} \]

   \[ a\sqrt{2} = 28\sqrt{2} \]

   \[ a = 28 \]

Ответ: \(\boxed{28}\)

№5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найти угол АВО.

Решение:

1. Понимаем ситуацию:

   • В окружности есть две касательные: А и В.
   • Углы, образованные касательными и радиусами (AO и BO), равны 90°.

2. Что дано:

   • Угол между касательными \(\angle AOB = 72^\circ\).

3. Задача:

   • Найти угол \(\angle AOB\) — это угол, образованный касательными.
   • Но обычно в таких задачах, чтобы найти угол у центра, используют свойства касательных и радиусов.

4. Строим:

   • Рассматриваем треугольник \(\triangle AOB\), где AO и BO — радиусы, а угол \(\angle AOB\) — угол при центре.

5. Правило:

   • Углы при радиусах, проведённых к точкам касания, перпендикулярны касательным.
   • Угол \(\angle AOB\) — это центральный угол, опирающийся на дугу, ограниченную точками A и B.

6. Теорема:

   • Углы между касательными: \(\angle AOB\) и дуга A B связаны через: \[ \text{Угол между касательными} = 180^\circ - \text{участок дуги} \]

   или в более общем виде: углы, образованные касательными, связаны с дугами.

7. Рассмотрим:

   • Рассмотрим касательные \(\angle AOB = 72^\circ\).
   • Тогда, угол, образованный радиусами в точках касания (AO и BO), равен \(90^\circ\).

8. Ответ:

   • В задаче ищется \(\angle AVO\), где V — точка пересечения касательных.
   • Углы касательных: \(\angle AVO = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle AOB)\).

   Тогда: \[ \angle AVO = \frac{1}{2} (180^\circ - 72^\circ) = \frac{1}{2} \times 108^\circ = 54^\circ \]

Ответ: \(\boxed{54^\circ}\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь в более сложных задачах, обращайтесь!