Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Расстояние лодки против течения: 165 км
- Время на обратный путь (по течению): на 4 часа меньше, чем против течения
- Скорость течения реки (V_теч.): 4 км/ч
Обозначим:
- (V_л) — скорость лодки в неподвижной воде (в км/ч)
- (V_теч.) — скорость течения реки = 4 км/ч
Тогда:
- Скорость лодки против течения: (V_против = V_л - V_теч.)
- Скорость лодки по течению: (V_по = V_л + V_теч.)
Дано расстояние: 165 км в обоих направлениях.
Обозначим:
- Время против течения: (t_{против})
- Время по течению: (t_{по})
Из условия: (t_{против} = t_{по} + 4)
Запишем время через расстояние и скорость:
[
t_{против} = \frac{165}{V_л - 4}
]
[
t_{по} = \frac{165}{V_л + 4}
]
По условию:
[
\frac{165}{V_л - 4} = \frac{165}{V_л + 4} + 4
]
Решаем это уравнение:
Перенесем (\frac{165}{V_л + 4}) в левую сторону:
[
\frac{165}{V_л - 4} - \frac{165}{V_л + 4} = 4
]
Приведем левое выражение к общему знаменателю:
[
\frac{165(V_л + 4) - 165(V_л - 4)}{(V_л - 4)(V_л + 4)} = 4
]
Раскроем числитель:
[
165V_л + 165 \times 4 - 165V_л + 165 \times 4 = 4(V_л^2 - 16)
]
Поскольку (165V_л - 165V_л = 0), остается:
[
165 \times 4 + 165 \times 4 = 4(V_л^2 - 16)
]
Вычислим числитель:
[
165 \times 4 = 660
]
Следовательно:
[
660 + 660 = 1320
]
Итак, уравнение:
[
\frac{1320}{V_л^2 - 16} = 4
]
Упростим:
[
1320 = 4(V_л^2 - 16)
]
Раскроем скобки:
[
1320 = 4V_л^2 - 64
]
Перенесем все в одну сторону:
[
4V_л^2 = 1320 + 64 = 1384
]
Выделим (V_л^2):
[
V_л^2 = \frac{1384}{4} = 346
]
Возьмем корень:
[
V_л = \pm \sqrt{346} \approx \pm 18.6
]
Поскольку скорость лодки не может быть отрицательной, принимаем положительный результат:
[
\boxed{
V_л \approx 18.6 \text{ км/ч}
}
]
Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде примерно 18.6 км/ч.
