1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах? 2. Сколько трёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1,2,5,7,9? 3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных. Сколькими способоми он может осуществить этот выбор? 4. В ящике находится шары с номерами 1,2,3..., 25. Наугад вынимают один шар. Каова вероятность того, что номер этого шара будет простым числом? 5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Скольки способами это можно сделать? 6. На четырех карточках написаны цифры 1,3,5,7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положиди эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова версия того, что в результает получится число больше 7000?

Давайте разберём каждую задачу по очереди подробно, объясняя шаги. --- ### 1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах? **Задача**: расположить 5 человек на 5 местах. **Решение**: - Количество способов — это перестановка 5 человек на 5 мест. - Формула: \( P_5 = 5! \) (факториал 5). **Вычисление**: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] **Ответ**: **120 способов**. --- ### 2. Сколько трёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9? **Задача**: составить трёхзначное число без повторяющихся цифр из указанных 5. **Решение**: - Первый разряд (сотни): выбрать из 5 цифр. - Второй разряд (десятки): выбрать из оставшихся 4 цифр. - Третий разряд (единицы): выбрать из оставшихся 3 цифр. Общее число вариантов: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \] **Ответ**: **60 чисел**. --- ### 3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных. Сколькими способами он может осуществить этот выбор? **Задача**: выбрать 2 книги из 10 (без учёта порядка). **Решение**: - Используем комбинации: \( C_{10}^2 \). Формула: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] **Ответ**: **45 способов**. --- ### 4. В ящике находится шары с номерами 1, 2, 3, ..., 25. Наугад вытягивают один шар. Какая вероятность того, что номер этого шара будет простым числом? **Задача**: найти вероятность вытягивания шара с простым числом. **Решение**: - Первым делом найдём все простые числа до 25: Простые числа ≤ 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 Их всего: 9 чисел. - Общие шары: 25. Вероятность: \[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{9}{25} \] **Ответ**: \(\boxed{\frac{9}{25}}\). --- ### 5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы 3 мальчиков и 2 девочек. Скольки способами это можно сделать? **Решение**: - Количество способов выбрать 3 мальчиков из 8: \[ C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] - Количество способов выбрать 2 девочек из 5: \[ C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \] - Общее число способов — это произведение: \[ 56 \times 10 = 560 \] **Ответ**: **560 способов**. --- ### 6. На четырёх карточках написаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад поставили их в ряд и открыли. Какова вероятность того, что получится число больше 7000? **Справка**: - Все цифры различны. - Правила: - Число больше 7000, значит, то-же число, начинающееся с цифры 7. **Решение**: - Общие перестановки 4 карточек: \( 4! = 24 \). - Число больше 7000 — это числа, начинающиеся на 7. - После фиксирования первой цифры 7, оставшиеся 3 цифры могут располагаться в любой последовательности: \( 3! = 6 \) - Следовательно, таких чисел: \[ 6 \] Вероятность: \[ \frac{\text{число подходящих вариантов}}{\text{общее число вариантов}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \] **Ответ**: \(\boxed{\frac{1}{4}}\). --- Если нужно более подробное объяснение по любой задаче, скажите!