1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах? 2. Сколько трёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из…

Давайте разберём каждую задачу по очереди подробно, объясняя шаги.

---

1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах?

Задача: расположить 5 человек на 5 местах.

Решение:

• Количество способов — это перестановка 5 человек на 5 мест.
• Формула: \( P_5 = 5! \) (факториал 5).

Вычисление: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Ответ: 120 способов.

---

2. Сколько трёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9?

Задача: составить трёхзначное число без повторяющихся цифр из указанных 5.

Решение:

• Первый разряд (сотни): выбрать из 5 цифр.
• Второй разряд (десятки): выбрать из оставшихся 4 цифр.
• Третий разряд (единицы): выбрать из оставшихся 3 цифр.

Общее число вариантов: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

Ответ: 60 чисел.

---

3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных. Сколькими способами он может осуществить этот выбор?

Задача: выбрать 2 книги из 10 (без учёта порядка).

Решение:

• Используем комбинации: \( C_{10}^2 \).

Формула: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \]

Ответ: 45 способов.

---

4. В ящике находится шары с номерами 1, 2, 3, ..., 25. Наугад вытягивают один шар. Какая вероятность того, что номер этого шара будет простым числом?

Задача: найти вероятность вытягивания шара с простым числом.

Решение:

• Первым делом найдём все простые числа до 25:

  Простые числа ≤ 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

  Их всего: 9 чисел.

• Общие шары: 25.

Вероятность: \[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{9}{25} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{9}{25}}\).

---

5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы 3 мальчиков и 2 девочек. Скольки способами это можно сделать?

Решение:

• Количество способов выбрать 3 мальчиков из 8: \[ C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \]

• Количество способов выбрать 2 девочек из 5: \[ C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \]

• Общее число способов — это произведение: \[ 56 \times 10 = 560 \]

Ответ: 560 способов.

---

6. На четырёх карточках написаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад поставили их в ряд и открыли. Какова вероятность того, что получится число больше 7000?

Справка:

• Все цифры различны.
• Правила:
  • Число больше 7000, значит, то-же число, начинающееся с цифры 7.

Решение:

• Общие перестановки 4 карточек: \( 4! = 24 \).

• Число больше 7000 — это числа, начинающиеся на 7.

• После фиксирования первой цифры 7, оставшиеся 3 цифры могут располагаться в любой последовательности:

  \( 3! = 6 \)

• Следовательно, таких чисел: \[ 6 \]

Вероятность: \[ \frac{\text{число подходящих вариантов}}{\text{общее число вариантов}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{1}{4}}\).

---

Если нужно более подробное объяснение по любой задаче, скажите!