Задача 4. Радиус п-й орбиты электрона в атоме водорода равен 2, 12-10-10 м. Фотоны какой длины Х волны могут вызвать ионизацию этого атома? (Определите энергию Е нонизации атома…
Задача 4. Радиус п-й орбиты электрона в атоме водорода равен 2, 12-10-10 м. Фотоны какой длины Х волны могут вызвать ионизацию этого атома? (Определите энергию Е нонизации атома водорода. Дано: гn= 2,1210-10 м. Решение. Для того чтобы произошла ионизация атома водорода, необходимо сообщить электрону, вращающемуся на п-й орбите, энергию, достаточную для его удаления с этой орбиты (т = n) за пределы атома (п = о0). По формуле (148) можно определить длину волны фотона, вызывающего ионизацию атома: Отсюда = n2/R и энергия ионизации E = hv = hc/X = hcR/n2 где с - скорость света в вакууме. Таким образом, для определения энергии ионизации Е и длины волны фотона необходимо знать номер п орбиты. В атоме водорода на электрон со стороны ядра действует куло- новская сила электростатического притяжения F где г. - радиус п-й орбиты. Она является центростремительной силой. удерживающей электрон, движущийся со скоростью v,, на соответствующей п-й орбите, поэтому m, Отсюда находим v Исходя из первого постулата Бора [см. Формулу (145)], найдем скорость электрона на п-й орбите: h. = Тогда квадрат порядкового номера орбиты n2
Давайте подробно разберем задачу по шагам, чтобы понять, как определить длину волны фотона, вызывающего ионизацию атома водорода, и энергию ионизации.
Исходные данные:
- Радиус p-й орбиты электрона в атоме водорода: \( r_p = 2,12 \times 10^{-10} \text{ м} \)
- Радиус первой орбиты (например, \( r_1 \)), можно взять из данных или использовать известные формулы.
- Константа Ридберга: \( R = 1,097 \times 10^7 \text{ м}^{-1} \)
- Постоянные:
- \( h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \) (постоянная Планка)
- \( c = 3 \times 10^{8} \text{ м/с} \) (скорость света)
- \( e = 1,602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \) (заряд электрона)
Шаг 1. Определение номера орбиты \( n \)
В формуле для радиуса орбиты водорода по модели Бора:
\[ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2} \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = a_0 n^2 \]
где \( a_0 = 0,529 \times 10^{-10} \text{ м} \) — радиус первой орбиты (тонкая модель). Значит:
\[ r_n = a_0 n^2 \]
Известное значение радиуса \( r_p = 2,12 \times 10^{-10} \text{ м} \) позволяет найти \( n \):
\[ r_p = a_0 n^2 \Rightarrow n^2 = \frac{r_p}{a_0} = \frac{2,12 \times 10^{-10}}{0,529 \times 10^{-10}} \approx 4 \]
Следовательно:
\[ n \approx \sqrt{4} = 2 \]
Шаг 2. Определение энергии ионизации
Энергия ионизации атома водорода — это энергия, необходимая для перевода электрона с орбиты \( n \) на бесконечность (разрушение связи):
\[ E_{ионизации} = E_{\infty} - E_n \]
где,
- \( E_{\infty} = 0 \) — энергия на бесконечности,
- \( E_n \) — энергия электрона на орбите \( n \):
\[ E_n = - \frac{13,6 \text{ эВ}}{n^2} \]
Для \( n = 2 \):
\[ E_2 = - \frac{13,6 \text{ эВ}}{4} = -3,4 \text{ эВ} \]
Значит, энергия, необходимая для ионизации (перевода с орбиты \( n=2 \) на свободное состояние), равна по абсолютной величине:
\[ E_{ионизации} = 3,4 \text{ эВ} \]
Переведем в джоулі:
\[ 1 \text{ эВ} = 1,602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \] \[ E_{ионизации} = 3,4 \times 1,602 \times 10^{-19} \approx 5,45 \times 10^{-19} \text{ Дж} \]
Шаг 3. Определение длины волны фотона
Энергия фотона, вызывающего ионизацию, равна \( E_{ф } = E_{ионизации} \). Тогда длина волны определяется формулой:
\[ \lambda = \frac{hc}{E} \]
подставим значения:
\[ \lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{5,45 \times 10^{-19}} \approx \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{5,45 \times 10^{-19}} \approx 3,65 \times 10^{-7} \text{ м} \]
или в нанометрах:
\[ \lambda \approx 365 \text{ нм} \]
Итог:
- Энергия ионизации: около \( 3,4 \text{ эВ} \)
- Длина волны фотона для ионизации: примерно 365 нм
Эта длина волны относится к ультрафиолетовому диапазону спектра.
Если понадобится еще что-то — обращайтесь!
