Дана окружность (0R). Вписанный в неё угол <АК№ опирается на дугу АN и равен 65°. Определите величину угла <OAN.

Рассмотрим задачу подробнее:

Дано:

• Окружность с центром O.
• Угол <АК опирается на дугу АN внутри окружности и равен 65°.
• Нужно найти угол <OAN.

Обозначения:

• Пусть <АК — это данный угол, вписанный в окружность и опирающийся на дугу АН.
• Точка K — точка на окружности, связанная с уголами и дугами, хотя в условии конкретно не указано её расположение, предполагается, что <АК — вписанный угол, опирающийся на дугу АН.
• <OAN — угол, образованный центром окружности O и точками A и N, которые, предположительно, лежат на окружности.

Шаг 1: Вспомогательные теоремы и свойства окружности

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:
  \(\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуга } AB\).

• Центр окружности O и угол, образованный центром и точками на окружности — это центральный угол, и он равен дуге, на которую он опирается.

Шаг 2: Анализ угла <АК

Дано:
\[ <АК = 65^\circ \]
и он опирается на дугу АН.

Это означает, что данный угол — вписанный угол, и он равен половине дуги АН:
\[ <АК = \frac{1}{2} \text{дуга } AN \]
Следовательно, дуга АН равна:
\[ \text{дуга } AN = 2 \times 65^\circ = 130^\circ \]

Шаг 3: Взаимосвязь дуги AN и угла <OAN

Предположим, <OAN — это угол, образованный центром окружности O, точками A и N.
Это — центральный угол, который подсчитан по дуге АН:
\[ < OAN = \text{центральный угол, опирающийся на дугу } AN \]

Центральный угол, опирающийся на дугу АН, равен длине этой дуги, выраженной в градусах:
\[ < OAN = \text{дуга } AN = 130^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{ < OAN = 130^\circ } \]

Если что-то в условии подразумевает другие обозначения или расположения точек, пожалуйста, уточните. Но на основании принятых допущений, угол <OAN равен 130°.