Решите уровнение

Давайте подробно решим данное уравнение:

\[ \frac{x}{x - 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{32}{x^2 - 16} \]

Шаг 1. Анализ уравнения

Обратим внимание, что выражение в знаменателе:

• \( x^2 - 16 \) — это разность квадратов, которая разлагается на (x - 4)(x + 4).

Значит, уравнение имеет вид:

\[ \frac{x}{x - 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{32}{(x - 4)(x + 4)} \]

Обратите внимание, что все знаменатели связаны с \( x - 4 \) и \( x + 4 \).

Шаг 2. Общий знаменатель

Общий знаменатель у всех трех дробей — это \( (x - 4)(x + 4) \).

Преобразуем каждую дробь так, чтобы она имела общий знаменатель:

• Первая дробь:

\[ \frac{x}{x - 4} = \frac{x(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \]

• Вторая дробь:

\[ \frac{2}{x + 4} = \frac{2(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} \]

• Правая сторона уже имеет нужный знаменатель: \( \frac{32}{(x - 4)(x + 4)} \)

Шаг 3. Перепишем уравнение

Обозначим знаменатель как \( D = (x - 4)(x + 4) \). Тогда:

\[ \frac{x(x + 4)}{D} - \frac{2(x - 4)}{D} = \frac{32}{D} \]

Множим обе части уравнения на \( D \):

\[ x(x + 4) - 2(x - 4) = 32 \]

Шаг 4. Раскроем скобки

• \( x(x + 4) = x^2 + 4x \)
• \( 2(x - 4) = 2x - 8 \)

Подставим:

\[ x^2 + 4x - (2x - 8) = 32 \]

Обратите внимание, что знак минус перед \( 2(x - 4) \) требует раскрытия скобок со знаком минус.

Шаг 5. Упростим уравнение

\[ x^2 + 4x - 2x + 8 = 32 \]

Объединим похожие члены:

\[ x^2 + (4x - 2x) + 8 = 32 \] \[ x^2 + 2x + 8 = 32 \]

Шаг 6. Переносим все в левую часть

\[ x^2 + 2x + 8 - 32 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 24 = 0 \]

Это квадратичное уравнение.

Шаг 7. Решение квадратного уравнения

Используем дискриминант:

\[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-24) = 4 + 96 = 100 \]

Корни:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2} \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Шаг 8. Проверка корней на допустимость

Проверяем, чтобы ни один из корней не делил знаменатели:

• Знаменатели: \( x - 4 \), \( x + 4 \)

Если \( x = 4 \):

\[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \text{запрещено (деление на ноль).} \]

Значит, \( x=4 \) — не допустимый корень.

Если \( x = -6 \):

\[ x - 4 = -6 - 4 = -10 \neq 0 \] \[ x + 4 = -6 + 4 = -2 \neq 0 \]

Этот корень допустим.

Ответ:

\[ \boxed{ x = -6 } \]

Это единственное решение уравнения.