Решите уровнение

Давайте подробно решим данное уравнение: \[ \frac{x}{x - 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{32}{x^2 - 16} \] **Шаг 1. Анализ уравнения** Обратим внимание, что выражение в знаменателе: - \( x^2 - 16 \) — это разность квадратов, которая разлагается на (x - 4)(x + 4). Значит, уравнение имеет вид: \[ \frac{x}{x - 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{32}{(x - 4)(x + 4)} \] Обратите внимание, что все знаменатели связаны с \( x - 4 \) и \( x + 4 \). **Шаг 2. Общий знаменатель** Общий знаменатель у всех трех дробей — это \( (x - 4)(x + 4) \). Преобразуем каждую дробь так, чтобы она имела общий знаменатель: - Первая дробь: \[ \frac{x}{x - 4} = \frac{x(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \] - Вторая дробь: \[ \frac{2}{x + 4} = \frac{2(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} \] - Правая сторона уже имеет нужный знаменатель: \( \frac{32}{(x - 4)(x + 4)} \) **Шаг 3. Перепишем уравнение** Обозначим знаменатель как \( D = (x - 4)(x + 4) \). Тогда: \[ \frac{x(x + 4)}{D} - \frac{2(x - 4)}{D} = \frac{32}{D} \] Множим обе части уравнения на \( D \): \[ x(x + 4) - 2(x - 4) = 32 \] **Шаг 4. Раскроем скобки** - \( x(x + 4) = x^2 + 4x \) - \( 2(x - 4) = 2x - 8 \) Подставим: \[ x^2 + 4x - (2x - 8) = 32 \] Обратите внимание, что знак минус перед \( 2(x - 4) \) требует раскрытия скобок со знаком минус. **Шаг 5. Упростим уравнение** \[ x^2 + 4x - 2x + 8 = 32 \] Объединим похожие члены: \[ x^2 + (4x - 2x) + 8 = 32 \] \[ x^2 + 2x + 8 = 32 \] **Шаг 6. Переносим все в левую часть** \[ x^2 + 2x + 8 - 32 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 24 = 0 \] Это квадратичное уравнение. **Шаг 7. Решение квадратного уравнения** Используем дискриминант: \[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-24) = 4 + 96 = 100 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \] **Шаг 8. Проверка корней на допустимость** Проверяем, чтобы ни один из корней не делил знаменатели: - Знаменатели: \( x - 4 \), \( x + 4 \) Если \( x = 4 \): \[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \text{запрещено (деление на ноль).} \] Значит, \( x=4 \) — **не допустимый корень**. Если \( x = -6 \): \[ x - 4 = -6 - 4 = -10 \neq 0 \] \[ x + 4 = -6 + 4 = -2 \neq 0 \] Этот корень допустим. **Ответ:** \[ \boxed{ x = -6 } \] Это единственное решение уравнения.