№2. В магазине гаджетов устроили экспресс-лотерею: в барабан загрузили 5 красных капсул (внутри мини-роботы-уборщики), 3 синих (роботы-персональные помощники) и 2 зелёных (роботы-…

Решение задач по вероятности — важный раздел математики, включающий расчет шансов наступления тех или иных событий. Рассмотрим каждую задачу по порядку, тщательно объясняя все шаги.

---

№2. Вероятность вытянуть робота-уборщика или робота-помощника

Дано:

• 5 красных капсул (роботы-уборщики)
• 3 синих (роботы-помощники)
• 2 зелёных (роботы-садовники) Всего капсул: 5 + 3 + 2 = 10

Нужно найти вероятность того, что вытянутая капсула — это либо робот-уборщик, либо робот-помощник.

Шаг 1. Определим события:

• Событие A: вытянуть красного робота (уборщика) → 5 вариантов
• Событие B: вытянуть синего робота (помощника) → 3 вариантов

Шаг 2. Вероятность каждого события: \[ P(A) = \frac{5}{10} = 0.5 \] \[ P(B) = \frac{3}{10} = 0.3 \]

Так как капсулы вытягиваются независимо, и события — несовместные (одна капсула не может быть и красной, и синей сразу), то вероятность их объединения:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8 \]

Ответ: вероятность того, что покупателю достанется робот-уборщик или помощник — 0.8 или 80%.

---

№3. Вероятность события \(A \cup B\) (объединение двух событий)

Дано:

• Игральный кубик: 6 граней (числа 1–6)
• Монета: две стороны — орёл (О) и решка (Р)

Дано события:

• \(A\) — «выпало четное число и орёл»
• \(B\) — «выпало число > 4 или решка»

Шаг 1. Определим вероятности по отдельности:

• \(A\): Четные числа — 2, 4, 6; всего 3 числа. Для события \(A\) надо, чтобы выпала четная и орёл.
  Вероятность этого: \[ P(\text{число четное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Поскольку бросаются кубик и монета независимо, \[ P(A) = P(\text{четное}) \times P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

• \(B\): число > 4 — это 5 и 6, и решка.
  Здесь событие «число > 4» или «решка». Вероятность: \[ P(\text{число > 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Поскольку монета и кубик — независимо, \[ P(B) = P(\text{число > 4}) + P(\text{решка}) - P(\text{число > 4 и решка}) \]

Рассчитаем: \[ P(\text{число > 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ P(\text{решка}) = \frac{1}{2} \] Объединение вероятностей: \[ P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Шаг 2. Найдём \(P(A \cup B)\):

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Где \(P(A \cap B)\) — вероятность, что одновременно выполняются события \(A\) и \(B\). Требуется, чтобы:

• выпало четное число (2, 4, 6),
• выпала орёл,
• число > 4 или решка.

Рассмотрим вариации:

• Для события \(A\): четное и орёл, возможные числа: 2, 4, 6.
  И для них событие «число > 4 или решка» — это всегда выполняется, кроме случая 2, когда число не > 4.

• Только 6 — > 4 и орёл, подходит к \(A \cap B\).

• Число 2: четное, орёл — да, но 2 не > 4, как и не решка. нет.

• Число 4: четное, орёл — да, 4 не > 4. Нет.

Итак, \(A \cap B\) — это событие, когда выпадают:

• число 6 (четное, орёл, число > 4).

Вероятность: \[ P(\text{число = 6}) = \frac{1}{6} \]

• Монета: орёл или решка — в этом случае орёл — вероятность \(\frac{1}{2}\).

Общая вероятность: \[ P(A \cap B) = P(\text{число=6}) \times P(\text{орёл}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \]

Решение:

\[ P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{12} \]

приведем к общему знаменателю 12: \[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3 + 8 - 1}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

Ответ: \( P(A \cup B) = \frac{5}{6} \).

---

№4. Вытягивание шаров из коробки

Дано:

• 4 красных шара
• 6 синих шаров Всего: 10.

Вытягивают два шара подряд без возврата.

---

1) Вероятность, что оба красные

Шаг 1. Вероятность первого красного:

\[ P(\text{первый красный}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Шаг 2. Вероятность второго красного, если первый уже вытянут:

Осталось 3 красных и всего 9 шаров.

\[ P(\text{второй красный | первый красный}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Общая вероятность:

\[ P(\text{оба красные}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} \]

---

2) Вероятность, что один шар красный, а другой синий

Или красный, потом синий, или синий, потом красный:

\[ P(\text{красный и синий}) = P(\text{красный}_1) \times P(\text{sиний}_2 | красный_1) + P(\text{sиний}_1) \times P(\text{красный}_2 | синий_1) \]

Рассчитаем оба варианта:

Вариант 1: красный, затем синий:

\[ \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15} \]

Вариант 2: синий, затем красный:

\[ \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15} \]

Общая вероятность: \[ \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15} \]

Ответ:

• 1. \(\frac{2}{15}\)
• 2. \(\frac{8}{15}\)

---

№5. Вероятность, что внутри батончика — исправная игрушка

Дано:

• Вероятность бракованной игрушки: 0,31
• Значит, исправной — \(1 - 0,31 = 0,69\).

Ответ: вероятность того, что игрушка внутри исправна — 0,69.

---

№6. Построение дерева вероятностей и задачи по маршрутам

Дано:

• Первый перекрёсток: ворота «Лес» — 60%, «Горы» — 40%
• Второй после «Леса»: «Лес» — 70%, «Горы» — 30%
• Второй после «Гор»: «Лес» — 20%, «Горы» — 80%

Построение дерева:

Первый
 ├─Лес (0,6)
 │   ├─Лес (0,7)
 │   └─Горы (0,3)
 └─Горы (0,4)
     ├─Лес (0,2)
     └─Горы (0,8)

Вычислим вероятности событий:

1. Дважды пройдёт через ворота «Лес»

Это — путь: «Лес»→«Лес».

\[ P(\text{Лес и Лес}) = 0,6 \times 0,7 = 0,42 \]

2. Сначала окажется в «Горах», затем в «Лесу»

Путь: «Горы»→«Лес»:

\[ P(\text{Горы и Лес}) = 0,4 \times 0,2 = 0,08 \]

3. Завершит путь в «Горах»

Это — событие, при котором либо:

• «Лес»→«Горы»: \(0,6 \times 0,3 = 0,18\),
• либо «Горы» и снова «Горы»: \(0,4 \times 0,8 = 0,32\).

Общая вероятность завершения в «Горах»:

\[ 0,18 + 0,32 = 0,50 \]

---

Итог:

• Вероятность вытянуть робот-уборщика или помощника: 0,8
• Вероятность \(A \cup B\): \(\frac{5}{6}\)
• Вероятность оба красных шара: \(\frac{2}{15}\)
• Вероятность один красный, другой синий: \(\frac{8}{15}\)
• Вероятность исправной игрушки: 0,69
• Дважды через «Лес»: 0,42
• Первый «Горы», затем «Лес»: 0,08
• Завершение в «Горах»: 0,50

Если нужно подробнее разобраться с каким-либо пунктом — обращайтесь!