Решение задач по вероятности — важный раздел математики, включающий расчет шансов наступления тех или иных событий. Рассмотрим каждую задачу по порядку, тщательно объясняя все шаги.
№2. Вероятность вытянуть робота-уборщика или робота-помощника
Дано:
- 5 красных капсул (роботы-уборщики)
- 3 синих (роботы-помощники)
- 2 зелёных (роботы-садовники)
Всего капсул: 5 + 3 + 2 = 10
Нужно найти вероятность того, что вытянутая капсула — это либо робот-уборщик, либо робот-помощник.
Шаг 1. Определим события:
- Событие A: вытянуть красного робота (уборщика) → 5 вариантов
- Событие B: вытянуть синего робота (помощника) → 3 вариантов
Шаг 2. Вероятность каждого события:
[
P(A) = \frac{5}{10} = 0.5
]
[
P(B) = \frac{3}{10} = 0.3
]
Так как капсулы вытягиваются независимо, и события — несовместные (одна капсула не может быть и красной, и синей сразу), то вероятность их объединения:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8
]
Ответ: вероятность того, что покупателю достанется робот-уборщик или помощник — 0.8 или 80%.
№3. Вероятность события (A \cup B) (объединение двух событий)
Дано:
- Игральный кубик: 6 граней (числа 1–6)
- Монета: две стороны — орёл (О) и решка (Р)
Дано события:
- (A) — «выпало четное число и орёл»
- (B) — «выпало число > 4 или решка»
Шаг 1. Определим вероятности по отдельности:
(A): Четные числа — 2, 4, 6; всего 3 числа. Для события (A) надо, чтобы выпала четная и орёл.
Вероятность этого:
[
P(\text{число четное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Поскольку бросаются кубик и монета независимо,
[
P(A) = P(\text{четное}) \times P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
]
(B): число > 4 — это 5 и 6, и решка.
Здесь событие «число > 4» или «решка». Вероятность:
[
P(\text{число > 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
]
Поскольку монета и кубик — независимо,
[
P(B) = P(\text{число > 4}) + P(\text{решка}) - P(\text{число > 4 и решка})
]
Рассчитаем:
[
P(\text{число > 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
]
[
P(\text{решка}) = \frac{1}{2}
]
Объединение вероятностей:
[
P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]
Шаг 2. Найдём (P(A \cup B)):
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]
Где (P(A \cap B)) — вероятность, что одновременно выполняются события (A) и (B). Требуется, чтобы:
- выпало четное число (2, 4, 6),
- выпала орёл,
- число > 4 или решка.
Рассмотрим вариации:
Для события (A): четное и орёл, возможные числа: 2, 4, 6.
И для них событие «число > 4 или решка» — это всегда выполняется, кроме случая 2, когда число не > 4.
Только 6 — > 4 и орёл, подходит к (A \cap B).
Число 2: четное, орёл — да, но 2 не > 4, как и не решка. нет.
Число 4: четное, орёл — да, 4 не > 4. Нет.
Итак, (A \cap B) — это событие, когда выпадают:
- число 6 (четное, орёл, число > 4).
Вероятность:
[
P(\text{число = 6}) = \frac{1}{6}
]
- Монета: орёл или решка — в этом случае орёл — вероятность (\frac{1}{2}).
Общая вероятность:
[
P(A \cap B) = P(\text{число=6}) \times P(\text{орёл}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}
]
Решение:
[
P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}
]
приведем к общему знаменателю 12:
[
\frac{3}{12} + \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3 + 8 - 1}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}
]
Ответ: ( P(A \cup B) = \frac{5}{6} ).
№4. Вытягивание шаров из коробки
Дано:
- 4 красных шара
- 6 синих шаров
Всего: 10.
Вытягивают два шара подряд без возврата.
1) Вероятность, что оба красные
Шаг 1. Вероятность первого красного:
[
P(\text{первый красный}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
]
Шаг 2. Вероятность второго красного, если первый уже вытянут:
Осталось 3 красных и всего 9 шаров.
[
P(\text{второй красный | первый красный}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
]
Общая вероятность:
[
P(\text{оба красные}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}
]
2) Вероятность, что один шар красный, а другой синий
Или красный, потом синий, или синий, потом красный:
[
P(\text{красный и синий}) = P(\text{красный}_1) \times P(\text{sиний}_2 | красный_1) + P(\text{sиний}_1) \times P(\text{красный}_2 | синий_1)
]
Рассчитаем оба варианта:
Вариант 1: красный, затем синий:
[
\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}
]
Вариант 2: синий, затем красный:
[
\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}
]
Общая вероятность:
[
\frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}
]
Ответ:
- (\frac{2}{15})
- (\frac{8}{15})
№5. Вероятность, что внутри батончика — исправная игрушка
Дано:
- Вероятность бракованной игрушки: 0,31
- Значит, исправной — (1 - 0,31 = 0,69).
Ответ: вероятность того, что игрушка внутри исправна — 0,69.
№6. Построение дерева вероятностей и задачи по маршрутам
Дано:
- Первый перекрёсток: ворота «Лес» — 60%, «Горы» — 40%
- Второй после «Леса»: «Лес» — 70%, «Горы» — 30%
- Второй после «Гор»: «Лес» — 20%, «Горы» — 80%
Построение дерева:
Первый
├─Лес (0,6)
│ ├─Лес (0,7)
│ └─Горы (0,3)
└─Горы (0,4)
├─Лес (0,2)
└─Горы (0,8)
Вычислим вероятности событий:
- Дважды пройдёт через ворота «Лес»
Это — путь: «Лес»→«Лес».
[
P(\text{Лес и Лес}) = 0,6 \times 0,7 = 0,42
]
- Сначала окажется в «Горах», затем в «Лесу»
Путь: «Горы»→«Лес»:
[
P(\text{Горы и Лес}) = 0,4 \times 0,2 = 0,08
]
- Завершит путь в «Горах»
Это — событие, при котором либо:
- «Лес»→«Горы»: (0,6 \times 0,3 = 0,18),
- либо «Горы» и снова «Горы»: (0,4 \times 0,8 = 0,32).
Общая вероятность завершения в «Горах»:
[
0,18 + 0,32 = 0,50
]
Итог:
- Вероятность вытянуть робот-уборщика или помощника: 0,8
- Вероятность (A \cup B): (\frac{5}{6})
- Вероятность оба красных шара: (\frac{2}{15})
- Вероятность один красный, другой синий: (\frac{8}{15})
- Вероятность исправной игрушки: 0,69
- Дважды через «Лес»: 0,42
- Первый «Горы», затем «Лес»: 0,08
- Завершение в «Горах»: 0,50
Если нужно подробнее разобраться с каким-либо пунктом — обращайтесь!
