Реши вариант Б1

Конечно, давайте решим задачу В1 из варианта Б1, которая включает выполнение действий и доказательства. --- ### Задача 1: Выполнить действия **a)** \( x^2 - 6x / (x^2 - 16) \) **b)** \( 2x^2 + 2x / y^2 - 4x^2 \) --- ### Решение части a): \[ \frac{x^2 - 6x}{x^2 - 16} \] Обратим внимание, что знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \] Числитель можно вынести за скобку общий множитель: \[ x^2 - 6x = x(x - 6) \] Итак, выражение принимает вид: \[ \frac{x(x - 6)}{(x - 4)(x + 4)} \] Это — окончательная форма, так как дальше можно уже ничего не вынести. Проверяем, что существует исключение для \( x \neq \pm 4 \). --- ### Решение части b): \[ \frac{2x^2 + 2x}{y^2 - 4x^2} \] Здесь числитель можно вынести 2: \[ 2(x^2 + x) \] Знаменатель — разность квадратов: \[ y^2 - 4x^2 = (y - 2x)(y + 2x) \] Итак, выражение: \[ \frac{2(x^2 + x)}{(y - 2x)(y + 2x)} \] Можно оставить так или вынести \( x \) из числителя, если будет необходимо, но в данном случае это достаточно. --- ### Итог: \[ \boxed{ a) \frac{x(x - 6)}{(x - 4)(x + 4)} \\ b) \frac{2(x^2 + x)}{(y - 2x)(y + 2x)} } \] --- ### Задача 2: Представить в виде дроби а) \( 11 + 3a^2 / 3a^3b - 2b \) б) \( 2y^3 - 3 / y^2 - 2y + 3 \) --- ### Решение части а): \[ \frac{11 + 3a^2}{3a^3b - 2b} \] Можно вынести \( b \) в знаменателе: \[ 3a^3b - 2b = b(3a^3 - 2) \] Также в числителе остаётся так: \[ 11 + 3a^2 \] Это — уже дробь, которая выражается как: \[ \frac{11 + 3a^2}{b(3a^3 - 2)} \] --- ### Решение части б): \[ \frac{2y^3 - 3}{y^2 - 2y + 3} \] Знаменатель — трёхчлен, который не разлагается на множители простым образом. Итак, эта дробь уже выражена в виде дроби. --- ### Итог: \[ \boxed{ а) \frac{11 + 3a^2}{b(3a^3 - 2)} \\ б) \frac{2y^3 - 3}{y^2 - 2y + 3} } \] --- ### Задача 3: Докажите, что при данном условии значение выражения является положительным числом \[ \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} \quad \text{ при } a > 2 \] и \[ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} \quad \text{ при } a > 1 \] --- ### Решение: Рассмотрим каждое выражение по отдельности. #### Первое выражение: \[ \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} \] - Дана область: \( a > 2 \). - В числителе: \( a - 2 > 0 \), так как \( a > 2 \). - В знаменателе: \( a^2 + 2a + 4 \). Проверим знак знаменателя: \[ a^2 + 2a + 4 \] Это квадратный трёхчлен. Величина его: \[ a^2 + 2a + 4 \] Или можно применить completes the square: \[ a^2 + 2a + 1 + 3 = (a + 1)^2 + 3 \] Так как сумма квадрата и 3 всегда положительна, то: \[ a^2 + 2a + 4 > 0 \] для любого \( a \). Итак, числитель — положителен, знаменатель — положителен, следовательно, дробь положительна при \( a > 2 \). --- #### Второе выражение: \[ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} \] - Область: \( a > 1 \). - В числителе: \( a - 1 > 0 \). - В знаменателе: \[ a^2 + a + 1 \] Рассмотрим знак этого квадратика: \[ a^2 + a + 1 \] Дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0 \] Так как дискриминант отрицателен, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней и абсолютно положителен и для любого \( a \). В частности, для \( a > 1 \), он также положителен. Поскольку числитель и знаменатель — оба положительны, то и вся дробь — положительна. --- ### Итог: **Доказано**, что при \( a > 2 \) и \( a > 1 \) соответственно, оба выражения являются положительными числами. --- Если нужно более подробное объяснение, я готов!