Реши вариант Б1
Конечно, давайте решим задачу В1 из варианта Б1, которая включает выполнение действий и доказательства.
Задача 1: Выполнить действия
a) \( x^2 - 6x / (x^2 - 16) \)
b) \( 2x^2 + 2x / y^2 - 4x^2 \)
Решение части a):
\[ \frac{x^2 - 6x}{x^2 - 16} \]
Обратим внимание, что знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов:
\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]
Числитель можно вынести за скобку общий множитель:
\[ x^2 - 6x = x(x - 6) \]
Итак, выражение принимает вид:
\[ \frac{x(x - 6)}{(x - 4)(x + 4)} \]
Это — окончательная форма, так как дальше можно уже ничего не вынести. Проверяем, что существует исключение для \( x \neq \pm 4 \).
Решение части b):
\[ \frac{2x^2 + 2x}{y^2 - 4x^2} \]
Здесь числитель можно вынести 2:
\[ 2(x^2 + x) \]
Знаменатель — разность квадратов:
\[ y^2 - 4x^2 = (y - 2x)(y + 2x) \]
Итак, выражение:
\[ \frac{2(x^2 + x)}{(y - 2x)(y + 2x)} \]
Можно оставить так или вынести \( x \) из числителя, если будет необходимо, но в данном случае это достаточно.
Итог:
\[ \boxed{ a) \frac{x(x - 6)}{(x - 4)(x + 4)} \\ b) \frac{2(x^2 + x)}{(y - 2x)(y + 2x)} } \]
Задача 2: Представить в виде дроби
а) \( 11 + 3a^2 / 3a^3b - 2b \)
б) \( 2y^3 - 3 / y^2 - 2y + 3 \)
Решение части а):
\[ \frac{11 + 3a^2}{3a^3b - 2b} \]
Можно вынести \( b \) в знаменателе:
\[ 3a^3b - 2b = b(3a^3 - 2) \]
Также в числителе остаётся так:
\[ 11 + 3a^2 \]
Это — уже дробь, которая выражается как:
\[ \frac{11 + 3a^2}{b(3a^3 - 2)} \]
Решение части б):
\[ \frac{2y^3 - 3}{y^2 - 2y + 3} \]
Знаменатель — трёхчлен, который не разлагается на множители простым образом.
Итак, эта дробь уже выражена в виде дроби.
Итог:
\[ \boxed{ а) \frac{11 + 3a^2}{b(3a^3 - 2)} \\ б) \frac{2y^3 - 3}{y^2 - 2y + 3} } \]
Задача 3: Докажите, что при данном условии значение выражения является положительным числом
\[ \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} \quad \text{ при } a > 2 \] и \[ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} \quad \text{ при } a > 1 \]
Решение:
Рассмотрим каждое выражение по отдельности.
Первое выражение:
\[ \frac{a - 2}{a^2 + 2a + 4} \]
Дана область: \( a > 2 \).
В числителе: \( a - 2 > 0 \), так как \( a > 2 \).
В знаменателе: \( a^2 + 2a + 4 \).
Проверим знак знаменателя:
\[ a^2 + 2a + 4 \]
Это квадратный трёхчлен. Величина его:
\[ a^2 + 2a + 4 \]
Или можно применить completes the square:
\[ a^2 + 2a + 1 + 3 = (a + 1)^2 + 3 \]
Так как сумма квадрата и 3 всегда положительна, то:
\[ a^2 + 2a + 4 > 0 \] для любого \( a \).
Итак, числитель — положителен, знаменатель — положителен, следовательно, дробь положительна при \( a > 2 \).
Второе выражение:
\[ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} \]
Область: \( a > 1 \).
В числителе: \( a - 1 > 0 \).
В знаменателе:
\[ a^2 + a + 1 \]
Рассмотрим знак этого квадратика:
\[ a^2 + a + 1 \]
Дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0 \]
Так как дискриминант отрицателен, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней и абсолютно положителен и для любого \( a \). В частности, для \( a > 1 \), он также положителен.
Поскольку числитель и знаменатель — оба положительны, то и вся дробь — положительна.
Итог:
Доказано, что при \( a > 2 \) и \( a > 1 \) соответственно, оба выражения являются положительными числами.
Если нужно более подробное объяснение, я готов!
