решите уравнение sin²x-sinx=2 (3n/4;7n/4]
Давайте решим уравнение \(\sin^2 x - \sin x = 2\) при условии, что \(x\) принадлежит промежутку \(\left( \frac{3n}{4}, \frac{7n}{4} \right]\).
Шаг 1: Переформулируем уравнение
Запишем исходное уравнение:
\[ \sin^2 x - \sin x = 2 \]
Обратим внимание, что это квадратичное уравнение относительно \(\sin x\).
Шаг 2: Вводим замену
Обозначим \(t = \sin x\). Тогда уравнение примет вид:
\[ t^2 - t = 2 \]
или
\[ t^2 - t - 2 = 0 \]
Шаг 3: Решаем квадратичное уравнение
Используем формулу для решений квадратичного уравнения:
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 1 + 8 = 9 \]
Значит, решения:
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два решения:
- \(t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\)
- \(t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\)
Шаг 4: Проверяем допустимость решений
\(\sin x\) может принимать значения только в диапазоне \([-1, 1]\). Следовательно:
- \(t_1 = 2\) — недопустимо, так как значение вне диапазона \([-1, 1]\).
- \(t_2 = -1\) — подходит, потому что \(\sin x = -1\) — допустимое значение.
Итак, у нас есть только одно решение:
\[ \sin x = -1 \]
Шаг 5: Находим все \(x\), удовлетворяющие \(\sin x = -1\)
Из тригонометрии:
\[ \sin x = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Переведем это в другие виды:
\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Шаг 6: Учитываем условие на промежуток
Нам даны границы:
\[ x \in \left( \frac{3n}{4}, \frac{7n}{4} \right] \]
Нужно найти все целые значения \(k\), при которых:
\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \]
будет лежать в этом промежутке.
Шаг 7: Подставляем и решаем неравенство
Подставим:
\[ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \in \left( \frac{3n}{4}, \frac{7n}{4} \right] \]
Рассмотрим неравенства:
- \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k > \frac{3n}{4}\)
- \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k \leq \frac{7n}{4}\)
Шаг 8: Решаем для \(k\)
Первое неравенство:
\[ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k > \frac{3n}{4} \]
вычтем \(\frac{3\pi}{2}\) из обеих частей:
\[ 2\pi k > \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \]
делим обе части на \(2\pi\):
\[ k > \frac{1}{2\pi}\left( \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) \]
Второе неравенство:
\[ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \leq \frac{7n}{4} \]
вычтем \(\frac{3\pi}{2}\):
\[ 2\pi k \leq \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \]
делим на \(2\pi\):
\[ k \leq \frac{1}{2\pi}\left( \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) \]
Итог:
\[ \boxed{ \frac{1}{2\pi} \left( \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) < k \leq \frac{1}{2\pi} \left( \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) } \]
Значения \(k\) — целые числа, подходящие под эти неравенства.
Ответ:
Решение уравнения:
\[ \boxed{ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, } \]
где \(k\) — целое число, такое, что:
\[ \frac{1}{2\pi} \left( \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) < k \leq \frac{1}{2\pi} \left( \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right). \]
Если нужен конкретный список решений, подставьте конкретное значение \(n\).
