Решите уравнение sin²x-sinx=2 (3n/4;7n/4]

Давайте решим уравнение \(\sin^2 x - \sin x = 2\) при условии, что \(x\) принадлежит промежутку \(\left( \frac{3n}{4}, \frac{7n}{4} \right]\). --- ### Шаг 1: Переформулируем уравнение Запишем исходное уравнение: \[ \sin^2 x - \sin x = 2 \] Обратим внимание, что это квадратичное уравнение относительно \(\sin x\). --- ### Шаг 2: Вводим замену Обозначим \(t = \sin x\). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - t = 2 \] или \[ t^2 - t - 2 = 0 \] --- ### Шаг 3: Решаем квадратичное уравнение Используем формулу для решений квадратичного уравнения: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 1 + 8 = 9 \] Значит, решения: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Получаем два решения: 1. \(t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\) 2. \(t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\) --- ### Шаг 4: Проверяем допустимость решений \(\sin x\) может принимать значения только в диапазоне \([-1, 1]\). Следовательно: - \(t_1 = 2\) — **недопустимо**, так как значение вне диапазона \([-1, 1]\). - \(t_2 = -1\) — **подходит**, потому что \(\sin x = -1\) — допустимое значение. Итак, у нас есть только одно решение: \[ \sin x = -1 \] --- ### Шаг 5: Находим все \(x\), удовлетворяющие \(\sin x = -1\) Из тригонометрии: \[ \sin x = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Переведем это в другие виды: \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### Шаг 6: Учитываем условие на промежуток Нам даны границы: \[ x \in \left( \frac{3n}{4}, \frac{7n}{4} \right] \] Нужно найти все целые значения \(k\), при которых: \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \] будет лежать в этом промежутке. --- ### Шаг 7: Подставляем и решаем неравенство Подставим: \[ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \in \left( \frac{3n}{4}, \frac{7n}{4} \right] \] Рассмотрим неравенства: 1. \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k > \frac{3n}{4}\) 2. \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k \leq \frac{7n}{4}\) --- ### Шаг 8: Решаем для \(k\) **Первое неравенство:** \[ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k > \frac{3n}{4} \] вычтем \(\frac{3\pi}{2}\) из обеих частей: \[ 2\pi k > \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \] делим обе части на \(2\pi\): \[ k > \frac{1}{2\pi}\left( \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) \] **Второе неравенство:** \[ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \leq \frac{7n}{4} \] вычтем \(\frac{3\pi}{2}\): \[ 2\pi k \leq \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \] делим на \(2\pi\): \[ k \leq \frac{1}{2\pi}\left( \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) \] --- ### Итог: \[ \boxed{ \frac{1}{2\pi} \left( \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) < k \leq \frac{1}{2\pi} \left( \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) } \] Значения \(k\) — целые числа, подходящие под эти неравенства. --- ### **Ответ:** Решение уравнения: \[ \boxed{ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, } \] где \(k\) — целое число, такое, что: \[ \frac{1}{2\pi} \left( \frac{3n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right) < k \leq \frac{1}{2\pi} \left( \frac{7n}{4} - \frac{3\pi}{2} \right). \] Если нужен конкретный список решений, подставьте конкретное значение \(n\).