Давайте внимательно разберем задачу и последовательно найдем массу газа.
Дано:
- Молярная масса газа: ( M = 28, \text{г/моль} )
- Первое нагревание при постоянном давлении (( p = const )) на (\Delta T = 14, \text{K}): ( Q_1 = 10, \text{Дж} )
- Охлаждение при постоянном объеме (( V = const )) на ту же (\Delta T = 14, \text{K}): ( Q_2 = 8, \text{Дж} )
Найти: Массу газа ( m ) в граммах.
Шаг 1: Вспомним формулы для теплоемкостей
- При постоянном давлении, теплоемкость = ( C_p ).
- При постоянном объеме, теплоемкость = ( C_v ).
Молярные теплоемкости для идеального газа связаны соотношением:
[
\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \text{коэффициент адиабаты}
]
Также для идеального газа:
[
C_p - C_v = R
]
где ( R = 8.31, \text{Дж/(моль·К)} ).
Шаг 2: Выразим теплоемкости в массовых величинах
Массовые теплоемкости:
[
c_p = \frac{C_p}{molar,масса} \quad \text{(Дж/г·К)}
]
и
[
c_v = \frac{C_v}{molar,масса}
]
Общий тепловой эффект при нагревании и охлаждении:
[
Q = m \cdot c \cdot \Delta T
]
где ( c ) — соответствующая массовая теплоемкость.
Шаг 3: Связь между теплоемкостями и молярными
Зная, что:
[
Q_1 = C_p \cdot \Delta T
]
[
Q_2 = C_v \cdot \Delta T
]
перенесем на массу:
[
Q_1 = m \cdot c_p \cdot \Delta T
]
[
Q_2 = m \cdot c_v \cdot \Delta T
]
Или, для молярных теплоемкостей:
[
Q_1 = n \cdot C_p \cdot \Delta T
]
[
Q_2 = n \cdot C_v \cdot \Delta T
]
где ( n ) — количество молей.
Шаг 4: Вычислим ( n )
Из данных:
[
Q_1 = 10, \text{Дж}
]
[
Q_2 = 8, \text{Дж}
]
И ( \Delta T = 14, \text{К} ).
Тогда:
[
C_p = \frac{Q_1}{n \cdot \Delta T} = \frac{10}{n \times 14}
]
[
C_v = \frac{Q_2}{n \times 14} = \frac{8}{n \times 14}
]
Но знаем, что:
[
C_p - C_v = R
]
Подставим выражения:
[
\frac{10}{n \times 14} - \frac{8}{n \times 14} = R
]
или:
[
\frac{2}{n \times 14} = R
]
Отсюда:
[
n = \frac{2}{R \times 14}
]
[
n = \frac{2}{8.31 \times 14} \approx \frac{2}{116.34} \approx 0.0172, \text{моль}
]
Шаг 5: Найдем массу газа
Масса:
[
m = n \times M_{молярная}
]
где:
[
M_{молярная} = 28, \text{г/моль}
]
Итак:
[
m = 0.0172 \times 28 \approx 0.4816, \text{г}
]
Округлим до двух знаков:
[
\boxed{m \approx 0.48, \text{г}}
]
Итог:
Масса газа приблизительно равна 0.48 грамм.
