Катер проплыл против течения реки 105 км, затратив на этот путь 7 часов, затем повернулся обратно и плыл ещё 5 часов. Найдите длину всего пути, если скорость течения реки 2 км/ч.
Дано:
- Согласно условию, катер проплыл против течения 105 км за 7 часов.
- Затем повернул обратно и плыл ещё 5 часов.
- Скорость течения реки \( v_{течения} = 2 \text{ км/ч} \).
Задача: найти общую длину пути (суммарное расстояние, пройденное катером).
Шаг 1: Обозначения и переменные
- Пусть \( v_{скорость\_катера\_в_отдельности} = v \) — собственная скорость катера в стоячей воде.
- Тогда:
- при движении против течения (на первом участке): скорость катера относительно воды — \( v \), а против течения — \( v_{катера\_против\_течения} = v - v_{течения} \).
- при движении по течению (на втором участке): \( v_{катера\_по\_течению} = v + v_{течения} \).
Шаг 2: Вычислим скорость катера в каждом случае
Против течения:
- Расстояние: \( S_1 = 105 \text{ км} \).
- Время: \( t_1 = 7 \text{ часов} \).
Из формулы:
\[ \text{скорость} = \frac{\text{расстояние}}{\text{время}} \]Получаем:
\[ v_{против} = \frac{S_1}{t_1} = \frac{105}{7} = 15 \text{ км/ч} \]Так как:
\[ v_{против} = v - v_{течения} \]Тогда:
\[ v - 2 = 15 \implies v = 17 \text{ км/ч} \]
Итак: собственная скорость катера \( v = 17 \text{ км/ч} \).
Шаг 3: Найдём расстояние при обратном движении
Время движения назад: \( t_2 = 5 \text{ часов} \).
Скорость по течению:
\[ v_{по} = v + v_{течения} = 17 + 2 = 19 \text{ км/ч} \]Расстояние при движении по течению:
\[ S_2 = v_{по} \times t_2 = 19 \times 5 = 95 \text{ км} \]
Шаг 4: Общая длина пути
Пути, пройденные в обоих направлениях:
- Против течения: 105 км
- По течению: 95 км
Общая длина пути:
\[
S_{общ} = S_1 + S_2 = 105 + 95 = 200 \text{ км}
\]
Ответ:
Общая длина всего пути — 200 км.
