Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 72. Какое…

Давайте разберём задачу пошагово и подробно.

Задача:
Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Потом поменяли местами цифры десятков и единиц и получили новое число. Из исходного числа вычли новое число, и результат равен 72. Нужно найти исходное число.

---

Шаг 1: Обозначим исходное число

Пусть:

• сотни — \( A \)
• десятки — \( B \)
• единицы — \( C \)

Тогда исходное число: \[ N_1 = 100A + 10B + C \]

---

Шаг 2: Условие делимости на 45

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 5.

• Делимость на 5: \( C = 0 \) или \( C = 5 \)
• Делимость на 9: сумма цифр делится на 9

Следовательно:

\[ A + B + C \equiv 0 \pmod{9} \]

---

Шаг 3: Образец нового числа

При перестановке цифровых разрядов десятков и единиц число станет: \[ N_2 = 100A + 10C + B \]

---

Шаг 4: Условие разности

Из условия задачи:
\[ N_1 - N_2 = 72 \] Подставим выражения: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 72 \] Сократим и упростим: \[ 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 72 \] \[ (10B - B) + (C - 10C) = 72 \] \[ 9B - 9C = 72 \] Выносим 9 за скобки: \[ 9(B - C) = 72 \] Следовательно: \[ B - C = 8 \]

---

Шаг 5: Анализ значений \( C \)

Помня, что \( C \) — последняя цифра числа, и оно делится на 5, то есть \( C \) равно 0 или 5.

Рассмотрим оба варианта:

Вариант 1: \( C = 0 \)

Тогда: \[ B - 0 = 8 \implies B = 8 \]

Вариант 2: \( C = 5 \)

Тогда: \[ B - 5 = 8 \implies B = 13 \] Но цифра в разряде десятков не может быть больше 9, значит, этот вариант исключается.

---

Шаг 6: Определение числа \( A \)

Значит, \( C=0 \), \( B=8 \).

Обозначим исходное число: \[ N_1 = 100A + 10 \times 8 + 0 = 100A + 80 \]

---

Шаг 7: Условие делимости на 9

Сумма цифр: \[ A + 8 + 0 = A + 8 \] Это должно быть кратно 9: \[ A + 8 \equiv 0 \pmod{9} \] Число \( A \) — цифра от 1 до 9 (так как число трёхзначное). Проверим:

• \( A=1 \): \(1 + 8=9 \) — делится на 9, подходит.
• \( A=2 \): \(2+8=10 \neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=3 \): \(11 \neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=4 \): \(12\neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=5 \): \(13\neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=6 \): \(14\neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=7 \): \(15\neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=8 \): \(16\neq 0 \pmod{9}\)
• \( A=9 \): \(17\neq 0 \pmod{9}\)

Единственный подходящий вариант: \( A=1 \).

---

Итоговое число \( N_1 \):

\[ N_1=100 \times 1 + 80 = 180 \]

Проверим:

• Делимость на 5: \( C=0 \), да, число делится на 5.
• Делимость на 9: сумма цифр \( 1+8+0=9 \), делится на 9, значит, число делится на 45.

---

Шаг 8: Проверка условия разницы

Перепишем число при перестановке цифр \( B \) и \( C \): \[ N_2=100A + 10C + B= 100 \times 1 + 10 \times 0 + 8 = 108 \]

Рассчитаем разность: \[ N_1 - N_2 = 180 - 108=72 \]

Верно!

---

Ответ:

Задуманное число — 180.