Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 72. Какое число было задумано?

Давайте разберём задачу пошагово и подробно. **Задача:** Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Потом поменяли местами цифры десятков и единиц и получили новое число. Из исходного числа вычли новое число, и результат равен 72. Нужно найти исходное число. --- ### Шаг 1: Обозначим исходное число Пусть: - сотни — \( A \) - десятки — \( B \) - единицы — \( C \) Тогда исходное число: \[ N_1 = 100A + 10B + C \] --- ### Шаг 2: Условие делимости на 45 Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 5. - Делимость на 5: \( C = 0 \) или \( C = 5 \) - Делимость на 9: сумма цифр делится на 9 **Следовательно:** \[ A + B + C \equiv 0 \pmod{9} \] --- ### Шаг 3: Образец нового числа При перестановке цифровых разрядов десятков и единиц число станет: \[ N_2 = 100A + 10C + B \] --- ### Шаг 4: Условие разности Из условия задачи: \[ N_1 - N_2 = 72 \] Подставим выражения: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 72 \] Сократим и упростим: \[ 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 72 \] \[ (10B - B) + (C - 10C) = 72 \] \[ 9B - 9C = 72 \] Выносим 9 за скобки: \[ 9(B - C) = 72 \] Следовательно: \[ B - C = 8 \] --- ### Шаг 5: Анализ значений \( C \) Помня, что \( C \) — последняя цифра числа, и оно делится на 5, то есть \( C \) равно 0 или 5. Рассмотрим оба варианта: #### Вариант 1: \( C = 0 \) Тогда: \[ B - 0 = 8 \implies B = 8 \] #### Вариант 2: \( C = 5 \) Тогда: \[ B - 5 = 8 \implies B = 13 \] Но цифра в разряде десятков не может быть больше 9, значит, этот вариант исключается. --- ### Шаг 6: Определение числа \( A \) Значит, \( C=0 \), \( B=8 \). Обозначим исходное число: \[ N_1 = 100A + 10 \times 8 + 0 = 100A + 80 \] --- ### Шаг 7: Условие делимости на 9 Сумма цифр: \[ A + 8 + 0 = A + 8 \] Это должно быть кратно 9: \[ A + 8 \equiv 0 \pmod{9} \] Число \( A \) — цифра от 1 до 9 (так как число трёхзначное). Проверим: - \( A=1 \): \(1 + 8=9 \) — делится на 9, подходит. - \( A=2 \): \(2+8=10 \neq 0 \pmod{9}\) - \( A=3 \): \(11 \neq 0 \pmod{9}\) - \( A=4 \): \(12\neq 0 \pmod{9}\) - \( A=5 \): \(13\neq 0 \pmod{9}\) - \( A=6 \): \(14\neq 0 \pmod{9}\) - \( A=7 \): \(15\neq 0 \pmod{9}\) - \( A=8 \): \(16\neq 0 \pmod{9}\) - \( A=9 \): \(17\neq 0 \pmod{9}\) Единственный подходящий вариант: **\( A=1 \)**. --- ### Итоговое число \( N_1 \): \[ N_1=100 \times 1 + 80 = 180 \] Проверим: - Делимость на 5: \( C=0 \), да, число делится на 5. - Делимость на 9: сумма цифр \( 1+8+0=9 \), делится на 9, значит, число делится на 45. --- ### Шаг 8: Проверка условия разницы Перепишем число при перестановке цифр \( B \) и \( C \): \[ N_2=100A + 10C + B= 100 \times 1 + 10 \times 0 + 8 = 108 \] Рассчитаем разность: \[ N_1 - N_2 = 180 - 108=72 \] Верно! --- ### **Ответ:** **Задуманное число — 180.**