Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет нечётное число. Какова вероятность, что для этого понадобится не более трёх подбрасываний?

Давайте разберём задачу шаг за шагом:

Условие:

• Игральный кубик подбрасывают многократно.
• Процесс продолжается, пока не выпадет нечётное число.
• Нам нужно найти вероятность того, что для этого понадобится не более трёх подбрасываний.

Шаг 1. Определим вероятности событий

На стандартном кубике есть 6 граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

• Нечётные числа: 1, 3, 5 → их 3, следовательно, вероятность выпадения нечётного числа:
  \[ P(\text{нечётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
• Чётные числа: 2, 4, 6 → тоже 3, вероятность чётного:
  \[ P(\text{чётное}) = \frac{1}{2} \]

Шаг 2. Определим искомую вероятность

Нам нужно найти вероятность того, что для остановки процесса потребуется не более 3 подбрасываний.
Процесс останавливается при первом выпадении нечётного числа.

Обозначим события:

• \( A_1 \): успех на первом подбрасывании (выпало нечётное число за первый раз),
• \( A_2 \): успех на втором, то есть первый раз выпадет чётное, затем нечётное,
• \( A_3 \): успех на третьем, то есть первые два раза — чётное, третий — нечётное.

Итак, вероятность, что процесс завершится за 1 подбрасывание:
\[ P(A_1) = P(\text{нечётное на первом}) = \frac{1}{2} \]

Вероятность завершения за 2 подбрасывания:

• сначала выпало чётное: \( \frac{1}{2} \),
• затем — нечётное: \( \frac{1}{2} \),
• всего:
  \[ P(\text{2 подбрасывания}) = P(\text{чётное}) \times P(\text{нечётное}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Аналогично, вероятность завершения за 3 подбрасывания:

• первые два — чётное,
• третий — нечётное:
  \[ P(\text{3 подбрасывания}) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

Шаг 3. Итоговая вероятность

Нам нужно, чтобы было не более трёх подбрасываний, то есть успех был на 1, 2 или 3 попытках:
\[ P(\text{не более 3}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) \]

Подставляем:
\[ P = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \]

Приведем к общему знаменателю 8:
\[ P = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]

Ответ:

Вероятность того, что для получения первого нечётного числа потребуется не более трёх подбрасываний, равна \(\frac{7}{8}\).