Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- Оптическая сила хрусталика ( D = 25 ) диоптрий (дптр)
- Показатель преломления хрусталика ( n = 1,4 )
- Один радиус кривизны в 2 раза больше другого: обозначим меньший радиус как ( R ), тогда больший радиус ( R_2 = 2R ).
Нам нужно найти радиусы кривизны ( R_1 ) и ( R_2 ).
Шаг 1. Записать формулу для оптической силы
Оптическая сила линзы связана со её кривизной через следующую формулу:
[
D = \frac{(n - 1)}{f}
]
где ( f ) — фокусное расстояние, а это связано с радиусами кривизны двумя зеркалами (или двумя сферами):
[
\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
]
Это классическая формула для тонкой бинокулярной линзы, сделанной из двух сфер с радиусами ( R_1 ) и ( R_2 ). Так как речь об оптической системе хрусталика, используем её.
Шаг 2. Подставляем известные величины
В нашем случае:
[
D = \frac{(n - 1)}{f}
]
Значит:
[
\frac{1}{f} = \frac{(n - 1)}{D}
]
Подставляя:
[
\frac{1}{f} = \frac{1.4 - 1}{25} = \frac{0.4}{25} = 0.016 \text{ диоптрий}
]
Но обычно в формуле для линзы оптическая сила выражается как ( D = \frac{1}{f(\text{метры})} ). Тогда:
[
f = \frac{1}{D} = \frac{1}{25} \text{ метра} = 0.04 \text{ м}
]
Итак, фокусное расстояние ( f = 0.04 ) м.
Шаг 3. Записать формулу для радиусов
В формуле:
[
\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
]
подставляем числовое значение:
[
0.016 = (1.4 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
]
[
0.016 = 0.4 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
]
Отсюда:
[
\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} = \frac{0.016}{0.4} = 0.04
]
Шаг 4. Используем условие соотношения радиусов
По условию:
[
R_2 = 2 R_1
]
Подставляем в выражение:
[
\frac{1}{R_1} - \frac{1}{2 R_1} = 0.04
]
Это упростится:
[
\frac{1}{R_1} - \frac{1}{2 R_1} = \left( \frac{2}{2 R_1} - \frac{1}{2 R_1} \right) = \frac{1}{2 R_1}
]
Значит:
[
\frac{1}{2 R_1} = 0.04
]
Отсюда:
[
2 R_1 = \frac{1}{0.04} = 25 \text{ м}
]
Следовательно:
[
R_1 = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ м}
]
А радиус другой стороны:
[
R_2 = 2 R_1 = 2 \times 12.5 = 25 \text{ м}
]
Ответ:
[
\boxed{
R_1 = 12{,}5 \text{ м}, \quad R_2 = 25 \text{ м}
}
]
Это радиусы кривизны хрусталика, при которых он обладает оптической силой 25 диоптрий, учитывая, что один радиус в 2 раза больше другого.
