Оптическая сила хрусталика для человека с нормальным зрением равна 25 дптр. Показатель преломления 1,4. Вычислите радиусы кривизны хрусталика, если известно, что один радиус…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.

Дано:

• Оптическая сила хрусталика \( D = 25 \) диоптрий (дптр)
• Показатель преломления хрусталика \( n = 1,4 \)
• Один радиус кривизны в 2 раза больше другого: обозначим меньший радиус как \( R \), тогда больший радиус \( R_2 = 2R \).

Нам нужно найти радиусы кривизны \( R_1 \) и \( R_2 \).

---

Шаг 1. Записать формулу для оптической силы

Оптическая сила линзы связана со её кривизной через следующую формулу:

\[ D = \frac{(n - 1)}{f} \]

где \( f \) — фокусное расстояние, а это связано с радиусами кривизны двумя зеркалами (или двумя сферами):

\[ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

Это классическая формула для тонкой бинокулярной линзы, сделанной из двух сфер с радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \). Так как речь об оптической системе хрусталика, используем её.

---

Шаг 2. Подставляем известные величины

В нашем случае:

\[ D = \frac{(n - 1)}{f} \]

Значит:

\[ \frac{1}{f} = \frac{(n - 1)}{D} \]

Подставляя:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1.4 - 1}{25} = \frac{0.4}{25} = 0.016 \text{ диоптрий} \]

Но обычно в формуле для линзы оптическая сила выражается как \( D = \frac{1}{f(\text{метры})} \). Тогда:

\[ f = \frac{1}{D} = \frac{1}{25} \text{ метра} = 0.04 \text{ м} \]

Итак, фокусное расстояние \( f = 0.04 \) м.

---

Шаг 3. Записать формулу для радиусов

В формуле:

\[ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

подставляем числовое значение:

\[ 0.016 = (1.4 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

\[ 0.016 = 0.4 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

Отсюда:

\[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} = \frac{0.016}{0.4} = 0.04 \]

---

Шаг 4. Используем условие соотношения радиусов

По условию:

\[ R_2 = 2 R_1 \]

Подставляем в выражение:

\[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{2 R_1} = 0.04 \]

Это упростится:

\[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{2 R_1} = \left( \frac{2}{2 R_1} - \frac{1}{2 R_1} \right) = \frac{1}{2 R_1} \]

Значит:

\[ \frac{1}{2 R_1} = 0.04 \]

Отсюда:

\[ 2 R_1 = \frac{1}{0.04} = 25 \text{ м} \]

Следовательно:

\[ R_1 = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ м} \]

А радиус другой стороны:

\[ R_2 = 2 R_1 = 2 \times 12.5 = 25 \text{ м} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ R_1 = 12{,}5 \text{ м}, \quad R_2 = 25 \text{ м} } \]

Это радиусы кривизны хрусталика, при которых он обладает оптической силой 25 диоптрий, учитывая, что один радиус в 2 раза больше другого.