Урок начинается в 8:00. Дамир опаздывает. Он выбегает из дома и думает: «Если бы я выбежал на 5 минут раньше, а урок бы начинался на 10 минут позже, я бы прибежал со звонком.…
Урок начинается в 8:00. Дамир опаздывает. Он выбегает из дома и думает: «Если бы я выбежал на 5 минут раньше, а урок бы начинался на 10 минут позже, я бы прибежал со звонком. Завтра нужно выйти по раньше, чтобы прийти в школу за 10 минут до начала урока и приготовиться к уроку». Укажите, в какое время нужно выходить Дамиру из дома, чтобы прийти в школу за 10 минут до начала урока при условии, что шагом Дамир идет в 2 раза медленнее, чем бегом.
Давайте сначала систематизируем данную задачу и разберем все условия по шагам.
Дано:
Время начала урока: 8:00
Дамир выбегает из дома и опаздывает.
Если бы:
- он выбежал на 5 минут раньше (то есть в 7:55),
- и урок бы начинался на 10 минут позже (то есть в 8:10),
- то он бы пришел к звонку (то есть прямо к своему началу).
Завтра ему нужно выйти пораньше, чтобы прийти за 10 минут до начала урока и подготовиться.
Что нужно найти?
- Время выхода из дома, чтобы прийти в школу за 10 минут до начала урока (т.е. за 7:50).
Шаг 1. Определим, сколько длился путь в обычных условиях
Пусть:
- \( t \) — время, которое Дамир тратит на дорогу (по бегу)
- \( v \) — его скорость при беге
- \( s \) — расстояние от дома до школы
Если он бежит, то \[ s = v t \]
Шаг 2. Анализ условий о "если бы он выбежал раньше и урок бы начинался позже"
Из условия:
- если бы он выбежал в 7:55,
- и урок начался бы в 8:10,
- он бы пришел ровно в время звонка (в 8:10).
Это значит, что при этом сценарии его путь занимает весь промежуток времени с 7:55 до 8:10, то есть 15 минут.
Т.к. он стартовал из дома в 7:55 и пришел в школу в 8:10, и путь занимает 15 минут.
Поскольку он шел медленнее, чем бегает, и его скорость при ходьбе в 2 раза ниже, то: \[ v_{ходьбы} = \frac{v_{бега}}{2} \]
Обозначим:
- время, которое он бежит, чтобы пройти путь как в обычных условиях, — \( t_{бег} \)
- время, которое он идет — \( t_{х} \), при этом \[ t_{х} = 2 t_{бег} \]
А из условий:
- при беге он тратит \( t_{бег} \),
- при ходьбе — \( t_{х} = 2 t_{бег} \).
Шаг 3. Определим путь и скорость
Используя данные о сценарии с опозданием:
- Время от выхода в 7:55 до прибытия в 8:10 — 15 минут.
- Поскольку при этом он шел, а не бежал, и скорость при ходьбе равна \( v/2 \).
Путь в оба сценария — один и тот же.
При этом: \[ s = v_{бег} \times t_{бег} \]
И при ходьбе: \[ s = v_{ходьбы} \times t_{х} = \frac{v}{2} \times 2 t_{бег} = v t_{бег} \]
То есть, путь одинаковый и равен \( v t_{бег} \).
Из этого:
- Время, чтобы добежать, — \( t_{бег} \),
- Время, чтобы пройти, — \( t_{х} = 2 t_{бег} \),
- Путь — \( s = v t_{бег} \).
Шаг 4. Определим исходные времена
Теперь, чтобы убедиться, что он бы пришел по звонку (в 8:10), если бы вышел в 7:55, его весь путь занимает 15 минут, при этом он идет (а не бежит).
Следовательно: \[ t_{х} = 15\, \text{минут} \] и \[ t_{х} = 2 t_{бег} \implies t_{бег} = \frac{t_{х}}{2} = 7.5\, \text{минут} \]
Итак: \[ s = v \times t_{бег} = v \times 7.5\, \text{минут} \]
Кроме того, путь одинаковый, значит: \[ s = v_{ходьбы} \times 15\, \text{минут} \] но это так, так как при ходьбе он шел 15 минут, а при беге — 7.5 минут.
Шаг 5. Определим время выхода завтра
Завтра ему нужно прийти в школу за 10 минут до начала урока, то есть в 7:50.
Пусть время выхода из дома — \( T \).
Время, которое потребуется, чтобы добраться до школы — \( t_{завтра} \).
Поскольку он идет медленнее в 2 раза (скорость в 2 раза ниже), время пути при ходьбе завтра — \( T_{х} \).
Если он вышел в \( T \), то он идет со скоростью \( v/2 \).
Соответственно, путь: \[ s = v/2 \times T_{х} \]
И чтобы прийти за 10 минут до урока, ему нужно прибыть в школу в 7:50.
Значит: \[ T + T_{з} = 7:50 \] где \( T_{з} \) — время пути.
Поскольку \( T_{з} \) — это время, за которое он пройден путь со скоростью \( v/2 \):
\[ s = \frac{v}{2} \times T_{з} \]
Также из предыдущих разложений: \[ s = v \times t_{бег} \]
Но мы знаем, что путь тот же, что при беге, — \( s = v \times 7.5 \) минут.
Следовательно:
\[ \frac{v}{2} \times T_{з} = v \times 7.5 \] Отсюда: \[ T_{з} = 2 \times 7.5 = 15\, \text{минут} \]
Значит, путь займет 15 минут при ходьбе.
Итог
Т.к. он хочет прибыть в школу в 7:50 (за 10 минут до урока в 8:00), то время выхода из дома:
\[ T = 7:50 - T_{з} = 7:50 - 15\, \text{минут} = 7:35 \]
Ответ:
Дамиру нужно выйти из дома в 7:35, чтобы при условии, что он идет в 2 раза медленнее, чем бегает, успеть прийти в школу за 10 минут до начала урока.
