|x-3|+|x+2|-3
Конечно! Давайте подробно разберем выражение:
\[
|x-3| + |x+2| - 3
\]
Цель: понять, как упростить и исследовать это выражение, например, найти его значение в разных областях или упростить.
Шаг 1: Анализ абсолютных значений
Абсолютные значения — это функции, которые возвращают развёрнутую отрицательную часть в положительную, то есть:
\[
|a| = \begin{cases}
a, & \text{если } a \geq 0 \\
-a, & \text{если } a < 0
\end{cases}
\]
Обратимся к выражениям внутри абсолютных значений:
- \(x - 3\)
- \(x + 2\)
Нам нужно определить, когда каждое из них равно нулю, чтобы разбить область определения по этим точкам:
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
Это точки, где меняется знак — важные точки для разбивки анализа.
Шаг 2: Разделение по интервалам
Рассмотрим три интервала:
- \(x < -2\)
- \(-2 \leq x \leq 3\)
- \(x > 3\)
Шаг 3: Анализ на каждом интервале
1. Когда \(x < -2\):
\(x - 3 < 0\) (так как все меньше -2, значит и меньше 3):
\(|x-3| = -(x-3) = -x + 3\)\(x + 2 < 0\):
\(|x+2| = -(x+2) = -x - 2\)
Подставим в исходное выражение:
\[
|x-3| + |x+2| - 3 = (-x + 3) + (-x - 2) - 3
\]
Выполним сложение:
\[
(-x + 3) + (-x - 2) - 3 = -x + 3 - x - 2 - 3 = -2x - 2
\]
2. Когда \(-2 \leq x \leq 3\):
\(x - 3 \leq 0\) (так как \(x \leq 3\)) —
\(|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3\)\(x + 2 \geq 0\) (так как \(x \geq -2\)) —
\(|x + 2| = x + 2\)
Подставим:
\[
(-x + 3) + (x + 2) - 3
\]
Упростим:
\[
- x + 3 + x + 2 - 3 = ( - x + x ) + (3 + 2 - 3) = 0 + 2 = 2
\]
Результат: выражение равно 2 на этом интервале.
3. Когда \(x > 3\):
\(x - 3 > 0\) —
\(|x - 3| = x - 3\)\(x + 2 > 0\) —
\(|x + 2| = x + 2\)
Подставляем:
\[
(x - 3) + (x + 2) - 3 = x - 3 + x + 2 - 3 = 2x - 4
\]
Итоговая формула:
\[ |x-3| + |x+2| - 3 = \begin{cases} -2x - 2, & x < -2 \\ 2, & -2 \leq x \leq 3 \\ 2x - 4, & x > 3 \end{cases} \]
Дополнительное задание:
Может быть интересно найти минимальное или максимальное значение этого выражения и проиллюстрировать его графиком.
Ответ:
- На промежутке \([-2, 3]\) выражение равно 2 (константа).
- Для \(x < -2\), значение растет вне зависимости (напр., при \(x \to -\infty\), \(-2x - 2 \to +\infty\)).
- Для \(x > 3\), функция растёт по линии \(2x - 4\).
Если нужно, я помогу сделать график или решить дополнительные задачи!
