Давайте подробно решим задачу по условным вероятностям. Мы рассмотрим все возможные случаи, при которых сумма двух бросков костей равна 7, и найдем вероятность того, что в первый раз выпало меньше 5 очков.
Шаг 1: Определение возможных исходов, при которых сумма равна 7
Нам нужно определить все пары чисел ((a, b)), где (a) — очки на первом броске, (b) — очки на втором, и сумма равна 7:
[
a + b = 7
]
Очки на костях могут быть от 1 до 6. Тогда возможные пары:
- ((1, 6))
- ((2, 5))
- ((3, 4))
- ((4, 3))
- ((5, 2))
- ((6, 1))
Это всего 6 вариантов.
Шаг 2: Определение интересующих нас исходов
Теперь нужно найти те из них, где в первый раз выпало меньше 5 очков. То есть, где (a < 5).
Из перечисленных пар:
- ((1, 6)): первый бросок = 1 (< 5) — подходит
- ((2, 5)): первый бросок = 2 (< 5) — подходит
- ((3, 4)): первый бросок = 3 (< 5) — подходит
- ((4, 3)): первый бросок = 4 (< 5) — подходит
- ((5, 2)): первый бросок = 5 (не меньше 5) — не подходит
- ((6, 1)): первый бросок = 6 (> 5) — не подходит
Итого, подходящих исходов — 4: ((1,6), (2,5), (3,4), (4,3)).
Шаг 3: Рассмотрение условной вероятности
Нам нужна условная вероятность, что в первый бросок было меньше 5 очков, при условии, что сумма равна 7.
Обозначим:
- (A) — событие, что в первый раз выпало меньше 5.
- (B) — событие, что сумма равна 7.
Тогда условная вероятность (P(A|B)):
[
P(A|B) = \frac{Количество подходящих исходов, при которых оба события происходят}{Общее количество исходов, при которых происходит событие (B)}} = \frac{|A \cap B|}{|B|}
]
Из предыдущего шага:
- (|A \cap B|) — количество исходов, где сумма 7 и в первый бросок меньше 5 (4 варианта).
- (|B|) — общее число исходов, при которых сумма 7 (6 вариантов).
Следовательно:
[
P(A|B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]
Ответ:
Условная вероятность, что в первый раз выпадет меньше 5 очков, при условии, что сумма равна 7, равна (\boxed{\frac{2}{3}}).
