Потяг 3/4 всього шляху проїхав зі швидкістю 81 км/ год, а 1/4 - зі швидкістю 135 км/год. Визначте у км за годину середню швидкість потяга на всьому шляху
Дано:
- Потяг проїхав 3/4 шляху зі швидкістю 81 км/год.
- Потяг проїхав 1/4 шляху зі швидкістю 135 км/год.
Задача: знайти середню швидкість всього шляху.
Крок 1: Позначимо довжину всього шляху як \( S \).
Тоді:
- Шлях, пройдений з швидкістю 81 км/год: \( \frac{3}{4}S \)
- Шлях, пройдений з швидкістю 135 км/год: \( \frac{1}{4}S \)
Крок 2: Обчислимо час, витрачений на кожну частину маршруту.
Час proportional на кожну частину шляху:
Час на першу частину: \[ t_1 = \frac{\text{відстань}}{\text{швидкість}} = \frac{\frac{3}{4}S}{81} \]
Час на другу частину: \[ t_2 = \frac{\frac{1}{4}S}{135} \]
Крок 3: Знайдемо сумарний час \( T \).
\[ T = t_1 + t_2 = \frac{\frac{3}{4}S}{81} + \frac{\frac{1}{4}S}{135} \]
Приведемо до спільного вигляду: \[ T = \frac{3S}{4 \times 81} + \frac{S}{4 \times 135} \]
Обчислимо кожен доданок:
- \(\frac{3S}{4 \times 81} = \frac{3S}{324}\)
- \(\frac{S}{4 \times 135} = \frac{S}{540}\)
Крок 4: Знаходження спільного знаменника і обчислення.
Знаменник 324 і 540 мають НСД = 108, тому знайдемо спільний знаменник:
\[ \text{LCM of 324 and 540} = \frac{324 \times 540}{\text{GCD}} \] Знаючи, що:
- \(324 = 2^2 \times 3^4 \)
- \(540 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \)
Групуємо найбільші степені спільних простих чисел:
\[ \text{LCM} = 2^2 \times 3^4 \times 5 = 4 \times 81 \times 5 = 4 \times 405 = 1620 \]
Переведемо обидва дроби до знаменника 1620:
\[ \frac{3S}{324} = \frac{3S \times 5}{1620} = \frac{15S}{1620} \]
\[ \frac{S}{540} = \frac{S \times 3}{1620} = \frac{3S}{1620} \]
Крок 5: Сума часу \( T \):
\[ T = \frac{15S}{1620} + \frac{3S}{1620} = \frac{18S}{1620} = \frac{S}{90} \]
Крок 6: Знаходження середньої швидкості \( V_{ср} \).
Загальний шлях: \( S \)
Загальний час: \( T = \frac{S}{90} \)
Середня швидкість:
\[ V_{ср} = \frac{\text{Загальний шлях}}{\text{Загальний час}} = \frac{S}{\frac{S}{90}} = 90 \text{ км/год} \]
