Дано:
- Потяг проїхав 3/4 шляху зі швидкістю 81 км/год.
- Потяг проїхав 1/4 шляху зі швидкістю 135 км/год.
Задача: знайти середню швидкість всього шляху.
Крок 1: Позначимо довжину всього шляху як ( S ).
Тоді:
- Шлях, пройдений з швидкістю 81 км/год: ( \frac{3}{4}S )
- Шлях, пройдений з швидкістю 135 км/год: ( \frac{1}{4}S )
Крок 2: Обчислимо час, витрачений на кожну частину маршруту.
Час proportional на кожну частину шляху:
Крок 3: Знайдемо сумарний час ( T ).
[
T = t_1 + t_2 = \frac{\frac{3}{4}S}{81} + \frac{\frac{1}{4}S}{135}
]
Приведемо до спільного вигляду:
[
T = \frac{3S}{4 \times 81} + \frac{S}{4 \times 135}
]
Обчислимо кожен доданок:
- (\frac{3S}{4 \times 81} = \frac{3S}{324})
- (\frac{S}{4 \times 135} = \frac{S}{540})
Крок 4: Знаходження спільного знаменника і обчислення.
Знаменник 324 і 540 мають НСД = 108, тому знайдемо спільний знаменник:
[
\text{LCM of 324 and 540} = \frac{324 \times 540}{\text{GCD}}
]
Знаючи, що:
- (324 = 2^2 \times 3^4 )
- (540 = 2^2 \times 3^3 \times 5 )
Групуємо найбільші степені спільних простих чисел:
[
\text{LCM} = 2^2 \times 3^4 \times 5 = 4 \times 81 \times 5 = 4 \times 405 = 1620
]
Переведемо обидва дроби до знаменника 1620:
[
\frac{3S}{324} = \frac{3S \times 5}{1620} = \frac{15S}{1620}
]
[
\frac{S}{540} = \frac{S \times 3}{1620} = \frac{3S}{1620}
]
Крок 5: Сума часу ( T ):
[
T = \frac{15S}{1620} + \frac{3S}{1620} = \frac{18S}{1620} = \frac{S}{90}
]
Крок 6: Знаходження середньої швидкості ( V_{ср} ).
Загальний шлях: ( S )
Загальний час: ( T = \frac{S}{90} )
Середня швидкість:
[
V_{ср} = \frac{\text{Загальний шлях}}{\text{Загальний час}} = \frac{S}{\frac{S}{90}} = 90 \text{ км/год}
]
Відповідь: середня швидкість потяга на всьому шляху — 90 км/год.
