Реши задачу 2
Давайте внимательно рассмотрим задачу № 4, в которой говорится:
"В треугольнике вписана окружность. Стороны AB, BC, AC касаются окружности в точках M, K, P соответственно. Известно, что отрезки MB = 5 см, AP = 9 см, KC = 11 см. Нужно найти периметр треугольника ABC."
Объяснение и решение задачи:
- Обозначения и данные:
- Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках, обозначенных как M, K и P.
- MB = 5 см, то есть точка M — точка касания стороны AB, и отрезок от точки касания M до вершины B равен 5 см.
- AP = 9 см: точка касания P на стороне AC, вторая точка — вершина A, и от этой точки до точки касания P — 9 см.
- KC = 11 см: точка касания K на стороне BC, со стороны B, и от этой точки до вершины C — 11 см.
- Что такое точки касания окружности?
Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках, и отрезки, проведённые от вершин до точек касания, имеют важное свойство:
Например, для стороны AB, отрезки от вершин A и B до точки касания M имеют равные длины, которые обозначаются через элементы.Обозначим длины сторон треугольника:
- \( AB = c \),
- \( BC = a \),
- \( AC = b \).
- Связь между отрезками и сторонами:
Вписанная окружность делит стороны так, что сумма отрезков, идущих к точке касания, связана с длинами сторон.
Конкретно, для стороны AB: \[ AM =a_1, \quad MB = a_2, \] и сумма \( AM + MB = AB \).
Аналогично, для других сторон.
В условии дано: \[ MB = 5 \text{ см} \]
- так как MB — часть стороны AB, а точка касания — M, то отрезок от B до точки касания M будет равен 5 см.
Для стороны AC: \[ AP = 9 \text{ см}. \]
- Аналогично, обозначим длины от вершин до точек касания.
Для стороны BC: \[ KC = 11 \text{ см}. \]
- Доказательство:
Вписанная окружность касается сторон в точки, и при этом свойства касательных к окружности из одной точки равны.
Поэтому: \[ \text{Обозначим:} \\ \text{Точки касания:} \\ M \text{ — на } AB, \quad K \text{ — на } BC, \quad P \text{ — на } AC. \\ \]
Из свойств касательных:
- Отрезки, идущие из вершины к точкам касания, равны по длине, поскольку для каждой вершины существуют две касательные к окружности, равные по длине.
В частности, если обозначить: \[ \text{Обозначим: } \\ \text{От A до P} = AP = 9\, \text{см} \\ \text{От B до M} = BM = 5\, \text{см} \\ \text{От C до K} = CK = 11\, \text{см} \]
Тогда стороны треугольника будут выражены через суммы таких отрезков.
- Вычисление сторон:
Для стороны \(AB\):
\[ AB = AM + MB = (AE) + (BE) = (a + b), \] — но здесь лучше использовать свойство о касательных.В формульной форме сторона: \[ AB = AM + BN, \] где \(AM = AF\) и \(BN = BF\) — равны в силу свойства касательных.
На практике, для данного треугольника, есть известное соотношение:
\[ \text{Сумма двух сторон} = \text{сумма касательных, исходящих из одной вершины} \]Свойство:
Сумма отрезков касательных, идущих из одной вершины, равна \(s - \text{длина стороны}\), где \(s\) — полу pérиметр.В условии, если обозначить: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \quad \text{(пополам периметра)}. \]
Тогда, от касательных: \[ \text{Из вершины } A: \quad AP = s - a, \quad \text{причём } AP = 9\, \text{см}. \] Аналогично для других вершин.
- Формулы на основе данных:
Из известных: \[ AP = s - a = 9, \] \[ MB = s - c = 5, \] \[ KC = s - b = 11. \]
Зная это, можем выразить стороны:
\[ a = s - 9, \] \[ b = s - 11, \] \[ c = s - 5. \]
- Находим \(s\):
Поскольку сумма всех сторон равна \( 2s \), тогда:
\[ a + b + c = 2s, \] подставим выражения:
\[ (s - 9) + (s - 11) + (s - 5) = 2s, \]
\[ 3s - (9 + 11 + 5) = 2s, \] \[ 3s - 25 = 2s, \] \[ 3s - 2s = 25, \] \[ s = 25. \]
- Найдем стороны:
\[ a = s - 9 = 25 - 9 = 16\, \text{см}, \] \[ b = s - 11 = 25 - 11 = 14\, \text{см}, \] \[ c = s - 5 = 25 - 5 = 20\, \text{см}. \]
- Периметр треугольника \(ABC\):
\[ P = a + b + c = 16 + 14 + 20 = 50\, \text{см}. \]
Ответ:
Периметр треугольника равен 50 см.
