Трактор затратил на дорогу от пункта А до пункта В 3 часа. Обратно он поехал по другой дороге, длина которой на 30 км больше, проезжая при этом каждый километр на 1 минуту быстрее, и вернулся в А за тоже время. Определить первоначальную скорость трактора.

Рассмотрим задачу и постараемся найти скорость трактора при первом путешествии. Обозначим: - \( d \) — длина пути от А до В (в км), - \( v \) — первоначальная скорость трактора (в км/ч). Из условия известно: - время в первом направлении (от А до В): 3 часа, - во втором направлении длина пути была на 30 км больше, т.е. \( d + 30 \), - скорость на обратном пути была на 1 минуту быстрее на каждый километр, т.е. на 1/60 часов быстрее за км, - время обеих поездок равно. ### Шаг 1. Запишем уравнения для времени в каждом направлении **Первое направление (от А до В):** \[ t_1 = \frac{d}{v} = 3 \text{ часа} \] Отсюда: \[ d = 3v \quad (1) \] **Второе направление (обратный путь):** - длина пути \( d + 30 \), - скорость на обратном пути: \( v + \frac{1}{60} \) км/ч (так как скорость на 1 минута быстрее за км — уточним ниже). Подумайте: Скорость на обратном пути — это \( v + \delta v \), где \( \delta v \) — разница в скорости. Поскольку "каждый километр быстрее на 1 минуту", это означает, что время прохождения одного километра стало на 1 минуту меньше, чем при первоначальной скорости. Во время первого пути: \[ t_{1 км} = \frac{1}{v} \text{ часа} \] Во время второго пути: \[ t_{2 км} = \frac{1}{v + \delta v} \] По условию: \[ t_{2 км} = t_{1 км} - \frac{1}{60} \] Итак: \[ \frac{1}{v + \delta v} = \frac{1}{v} - \frac{1}{60} \] Так как(\(\delta v\)) — разница скорости, а на заданной скорости: \[ \delta v = \frac{1}{60} \text{ км/ч} \] (Объяснение: скорость увеличилась на 1 минуту за километр → за час это: \( 60 \) минут, то есть \( 1/60 \) км/ч). ### Шаг 2. Проверка уточнений о скорости Скорость на обратном пути: \[ v_{обратн} = v + \frac{1}{60} \] Длина пути: \[ d + 30 \] Время пути на обратном: \[ t_2 = \frac{d + 30}{v + \frac{1}{60}} \] Общее время этого маршрута равно первому: \[ t_2 = 3 \text{ часа} \] ### Шаг 3. Запишем уравнение для второго пути: \[ \frac{d + 30}{v + \frac{1}{60}} = 3 \] Известно, что \( d = 3v \) (из уравнения (1)). Подставляем: \[ \frac{3v + 30}{v + \frac{1}{60}} = 3 \] ### Шаг 4. Решим уравнение относительно \( v \): \[ 3v + 30 = 3 \left( v + \frac{1}{60} \right) \] Раскроем скобки: \[ 3v + 30 = 3v + \frac{3}{60} \] \[ 3v + 30 = 3v + \frac{1}{20} \] Вычитаем \( 3v \) с обеих сторон: \[ 30 = \frac{1}{20} \] Это невозможно (30 ≠ 1/20!). Значит, есть неправильное понимание или ошибка в интерпретации "на 1 минуту быстрее за каждый километр". Проверим ещё раз. --- ### Альтернативное объяснение: - Скорость при движении обратно стала быстрее на 1 минуту на каждый километр, значит время на километр: \[ t_{1 км} = \frac{1}{v} \text{ часа} \] \[ t_{2 км} = \frac{1}{v'} \text{ часа} \] с условием: \[ t_{2 км} = t_{1 км} - \frac{1}{60} \text{ часа} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{v} - \frac{1}{60} \] Отсюда: \[ \frac{1}{v'} = \frac{60 - v}{60v} \] \[ \Rightarrow v' = \frac{60v}{60 - v} \] Это более правильный подход. --- ### Шаг 5. Запишем уравнение для времени второго пути \[ t_2 = \frac{d + 30}{v'} \] Известно, что \( t_2 = 3 \) часа (так как время у обеих поездок одинаковое): \[ \frac{d + 30}{v'} = 3 \] Также, из первого уравнения \( d = 3v \), подставим: \[ \frac{3v + 30}{v'} = 3 \] Подставим \( v' = \frac{60v}{60 - v} \): \[ \frac{3v + 30}{\frac{60v}{60 - v}} = 3 \] Теперь упростим: \[ (3v + 30) \cdot \frac{60 - v}{60v} = 3 \] Раскроем скобки: \[ \frac{(3v + 30)(60 - v)}{60v} = 3 \] Домножим обе стороны на \( 60v \): \[ (3v + 30)(60 - v) = 180v \] Раскроем левую часть: \[ (3v)(60 - v) + 30(60 - v) = 180v \] \[ 180v - 3v^2 + 1800 - 30v = 180v \] Объединим подобные слагаемые: \[ (180v - 30v) - 3v^2 + 1800 = 180v \] \[ 150v - 3v^2 + 1800 = 180v \] Перенесем все в левую часть: \[ 150v - 3v^2 + 1800 - 180v = 0 \] Объединим: \[ -3v^2 + (150v - 180v) + 1800 = 0 \] \[ -3v^2 - 30v + 1800 = 0 \] Разделим всё уравнение на -3: \[ v^2 + 10v - 600 = 0 \] --- ### Шаг 6. Решение квадратического уравнения \[ v^2 + 10v - 600 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500 \] Корни: \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{2500}}{2} = \frac{-10 \pm 50}{2} \] Получаем два решения: 1. \(\displaystyle v = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20\) 2. \(\displaystyle v = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30\) (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной). ### Итог: скорость трактора при первом путешествии: \[ \boxed{v = 20 \text{ км/ч}} \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — скажите!