Трактор затратил на дорогу от пункта А до пункта В 3 часа. Обратно он поехал по другой дороге, длина которой на 30 км больше, проезжая при этом каждый километр на 1 минуту…

Рассмотрим задачу и постараемся найти скорость трактора при первом путешествии.

Обозначим:

• \( d \) — длина пути от А до В (в км),
• \( v \) — первоначальная скорость трактора (в км/ч).

Из условия известно:

• время в первом направлении (от А до В): 3 часа,
• во втором направлении длина пути была на 30 км больше, т.е. \( d + 30 \),
• скорость на обратном пути была на 1 минуту быстрее на каждый километр, т.е. на 1/60 часов быстрее за км,
• время обеих поездок равно.

Шаг 1. Запишем уравнения для времени в каждом направлении

Первое направление (от А до В):

\[ t_1 = \frac{d}{v} = 3 \text{ часа} \]

Отсюда:

\[ d = 3v \quad (1) \]

Второе направление (обратный путь):

• длина пути \( d + 30 \),
• скорость на обратном пути: \( v + \frac{1}{60} \) км/ч (так как скорость на 1 минута быстрее за км — уточним ниже).

Подумайте: Скорость на обратном пути — это \( v + \delta v \), где \( \delta v \) — разница в скорости.

Поскольку "каждый километр быстрее на 1 минуту", это означает, что время прохождения одного километра стало на 1 минуту меньше, чем при первоначальной скорости.

Во время первого пути:

\[ t_{1 км} = \frac{1}{v} \text{ часа} \]

Во время второго пути:

\[ t_{2 км} = \frac{1}{v + \delta v} \]

По условию:

\[ t_{2 км} = t_{1 км} - \frac{1}{60} \]

Итак:

\[ \frac{1}{v + \delta v} = \frac{1}{v} - \frac{1}{60} \]

Так как(\(\delta v\)) — разница скорости, а на заданной скорости:

\[ \delta v = \frac{1}{60} \text{ км/ч} \]

(Объяснение: скорость увеличилась на 1 минуту за километр → за час это: \( 60 \) минут, то есть \( 1/60 \) км/ч).

Шаг 2. Проверка уточнений о скорости

Скорость на обратном пути:

\[ v_{обратн} = v + \frac{1}{60} \]

Длина пути:

\[ d + 30 \]

Время пути на обратном:

\[ t_2 = \frac{d + 30}{v + \frac{1}{60}} \]

Общее время этого маршрута равно первому:

\[ t_2 = 3 \text{ часа} \]

Шаг 3. Запишем уравнение для второго пути:

\[ \frac{d + 30}{v + \frac{1}{60}} = 3 \]

Известно, что \( d = 3v \) (из уравнения (1)). Подставляем:

\[ \frac{3v + 30}{v + \frac{1}{60}} = 3 \]

Шаг 4. Решим уравнение относительно \( v \):

\[ 3v + 30 = 3 \left( v + \frac{1}{60} \right) \]

Раскроем скобки:

\[ 3v + 30 = 3v + \frac{3}{60} \]

\[ 3v + 30 = 3v + \frac{1}{20} \]

Вычитаем \( 3v \) с обеих сторон:

\[ 30 = \frac{1}{20} \]

Это невозможно (30 ≠ 1/20!). Значит, есть неправильное понимание или ошибка в интерпретации "на 1 минуту быстрее за каждый километр". Проверим ещё раз.

---

Альтернативное объяснение:

• Скорость при движении обратно стала быстрее на 1 минуту на каждый километр, значит время на километр:

\[ t_{1 км} = \frac{1}{v} \text{ часа} \] \[ t_{2 км} = \frac{1}{v'} \text{ часа} \] с условием:

\[ t_{2 км} = t_{1 км} - \frac{1}{60} \text{ часа} \]

\[ \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{v} - \frac{1}{60} \]

Отсюда:

\[ \frac{1}{v'} = \frac{60 - v}{60v} \]

\[ \Rightarrow v' = \frac{60v}{60 - v} \]

Это более правильный подход.

---

Шаг 5. Запишем уравнение для времени второго пути

\[ t_2 = \frac{d + 30}{v'} \]

Известно, что \( t_2 = 3 \) часа (так как время у обеих поездок одинаковое):

\[ \frac{d + 30}{v'} = 3 \]

Также, из первого уравнения \( d = 3v \), подставим:

\[ \frac{3v + 30}{v'} = 3 \]

Подставим \( v' = \frac{60v}{60 - v} \):

\[ \frac{3v + 30}{\frac{60v}{60 - v}} = 3 \]

Теперь упростим:

\[ (3v + 30) \cdot \frac{60 - v}{60v} = 3 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{(3v + 30)(60 - v)}{60v} = 3 \]

Домножим обе стороны на \( 60v \):

\[ (3v + 30)(60 - v) = 180v \]

Раскроем левую часть:

\[ (3v)(60 - v) + 30(60 - v) = 180v \]

\[ 180v - 3v^2 + 1800 - 30v = 180v \]

Объединим подобные слагаемые:

\[ (180v - 30v) - 3v^2 + 1800 = 180v \]

\[ 150v - 3v^2 + 1800 = 180v \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 150v - 3v^2 + 1800 - 180v = 0 \]

Объединим:

\[ -3v^2 + (150v - 180v) + 1800 = 0 \]

\[ -3v^2 - 30v + 1800 = 0 \]

Разделим всё уравнение на -3:

\[ v^2 + 10v - 600 = 0 \]

---

Шаг 6. Решение квадратического уравнения

\[ v^2 + 10v - 600 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500 \]

Корни:

\[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{2500}}{2} = \frac{-10 \pm 50}{2} \]

Получаем два решения:

1. \(\displaystyle v = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20\)
2. \(\displaystyle v = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30\) (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной).

Итог: скорость трактора при первом путешествии:

\[ \boxed{v = 20 \text{ км/ч}} \]

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — скажите!