Точки M, N и K являются серединами рёбер куба ABCDA1B1C1D1. Найдите высоту пирамиды D1MNK, опущенную из вершины D1, если ребро куба равно корень 3 делёное на 4

Давайте последовательно решим задачу и подробно объясним все шаги. **Дано:** - Куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) - Точки \( M, N, K \) — середины рёбер куба - Ребро куба равно \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) - Нужно найти высоту пирамиды \( D_1MNK \), опущенную из вершины \( D_1 \). --- ### Шаг 1. Введение координат и установка системы отсчёта Чтобы упростить вычисления, возьмём точку \( A \) за начало координат \( (0,0,0) \) Пусть: - Куб находится в пространстве с длиной ребра \( a = \frac{\sqrt{3}}{4} \). - Расположим вершины так: - \( A = (0, 0, 0) \) - \( B = (a, 0, 0) \) - \( D = (0, a, 0) \) - \( C = (a, a, 0) \) - \( A_1 = (0, 0, a) \) - \( B_1 = (a, 0, a) \) - \( D_1 = (0, a, a) \) - \( C_1 = (a, a, a) \) --- ### Шаг 2. Находим координаты точек \( M, N, K \) - \( M \) — середина ребра \( AB \): \[ M = \left( \frac{0 + a}{2}, 0, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right) \] - \( N \) — середина ребра \( AD \): \[ N = \left( 0, \frac{0 + a}{2}, 0 \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, 0 \right) \] - \( K \) — середина ребра \( A_1B_1 \): \[ K = \left( \frac{0 + a}{2}, 0, a \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, a \right) \] --- ### Шаг 3. Описание пирамиды \( D_1MNK \) - Вершина пирамиды — точка \( D_1 = (0, a, a) \). - Основание — треугольник \( MNK \). --- ### Шаг 4. Нахождение высоты пирамиды из вершины \( D_1 \) Высота — это расстояние от вершины \( D_1 \) до плоскости, содержащей основание \( \triangle MNK \). Для этого: 1. Найдём уравнение плоскости \( MNK \). 2. Вычислим расстояние от точки \( D_1 \) до этой плоскости. --- ### Шаг 5. Находим уравнение плоскости \( MNK \) - Векторы, лежащие в плоскости: \[ \vec{MN} = N - M = (0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \] \[ \vec{MK} = K - M = \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - 0, a - 0 \right) = (0, 0, a) \] - Нормаль к плоскости \( \vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MK} \): Рассчитываем векторное произведение: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} \] Вычислим: \[ \mathbf{i} \left( \frac{a}{2} \cdot a - 0 \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{a}{2} \cdot a - 0 \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{a}{2} \cdot 0 - \frac{a}{2} \cdot 0 \right) \] \[ = \mathbf{i} \left( \frac{a^2}{2} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{a^2}{2} \right) + \mathbf{k} (0) \] \[ = \left( \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, 0 \right) \] - Упростим нормаль: \( \vec{n} = \left( \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, 0 \right) \). Для более удобных вычислений оставим так. - Уравнение плоскости: \( n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0 \) Возьмём в качестве точки \( M = \left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right) \): \[ \frac{a^2}{2} \left( x - \frac{a}{2} \right) + \frac{a^2}{2} (y - 0) + 0 \cdot (z - 0) = 0 \] Упростим: \[ \frac{a^2}{2} \left( x - \frac{a}{2} + y \right) = 0 \] Тогда уравнение плоскости: \[ x + y = \frac{a}{2} \] (мы делим обе части на \( \frac{a^2}{2} \), чтобы избавиться от коэффициентов). --- ### Шаг 6. Расстояние от точки \( D_1 \) до плоскости - Точка \( D_1 = (0, a, a) \). - Уравнение плоскости: \( x + y = \frac{a}{2} \). Перезапишем в общем виде: \[ x + y - \frac{a}{2} = 0 \] - Расстояние от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ \text{d} = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Где: \[ A=1, \quad B=1, \quad C=0, \quad D = -\frac{a}{2} \] - Подставим: \[ x_0=0, \quad y_0=a, \quad z_0=a \] Значение в числителе: \[ |1 \cdot 0 + 1 \cdot a + 0 \cdot a - \frac{a}{2}| = |a - \frac{a}{2}| = \left| \frac{a}{2} \right| = \frac{a}{2} \] - В знаменателе: \[ \sqrt{1^2 + 1^2 + 0} = \sqrt{2} \] - Итог: \[ \text{высота} = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2 \sqrt{2}} \] --- ### Итоговый ответ: Поскольку \( a = \frac{\sqrt{3}}{4} \), \[ \boxed{ \text{Высота} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{8 \sqrt{2}} } \] Можно упростить: \[ \frac{\sqrt{3}}{8 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{8 \sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{8 \times 2} = \frac{\sqrt{6}}{16} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Высота пирамиды } D_1MNK = \frac{\sqrt{6}}{16} } \] Если нужна дополнительная помощь — обращайтесь!