Газ СО массой m = 224 г нагревают изохорно, что его давление увеличивается на 4,786 МПа. Определите количество теплоты, сообщаемое газу Q (кДж) и его объем V (л).
Рассмотрим задачу по шагам:
Дано:
- Масса газа СО: \( m = 224\,\text{г} = 0{,}224\,\text{кг} \)
- Повышение давления: \( \Delta P = 4{,}786\,\text{МПа} = 4{,}786 \times 10^6\,\text{Па} \)
- Процесс изохорный (объем постоянен)
- Газ нагревается, следовательно, увеличивается внутренняя энергия и совершается работа
Шаг 1. Найти количество молей газа \( n \):
Молярная масса СО (угарный газ):
\[
M_{C O} \approx 28\, \text{г/моль}
\]
Масса внутри системы:
\[
m = 224\,\text{г} = 0,224\, \text{кг}
\]
Количество молей:
\[
n = \frac{m}{M_{C O}} = \frac{0,224}{0,028} = 8\, \text{молей}
\]
Шаг 2. Определить изменение объема \(V\):
Из уравнения для изохорного процесса:
\[
P V = n R T
\]
Но чтобы найти \(V\), нам нужно знать начальные и конечные давление и температуру. В задаче прямо не указано начальное давление или температуру, однако, через изменение давления можем найти конечную температуру:
Поскольку процесс изохорный,
\[
\frac{P_2}{T_2} = \frac{P_1}{T_1}
\]
Или, учитывая разность давления при постоянной температуре невозможна, но нам дано изменение давления при нагреве. Поэтому проще воспользоваться уравнением для изохорного нагрева:
Шаг 3. Использовать уравнение Пуассона для изохорного процесса:
Обратим внимание, что, так как объем постоянен, изменение давления связано с изменением температуры:
\[
\frac{P_2}{T_2} = \frac{P_1}{T_1}
\]
Но начальные параметры не даны, поэтому вместо этого воспользуемся уравнением для внутренней энергии и работы за счет давления:
Шаг 4. Найти работу \(A\), совершенную при изменении давления:
Работа в изохорном процессе равна нулю, так как объем постоянен (при изохорном нагревании, объем не меняется).
Но необходимо найти количество теплоты \(Q\). В изохорном процессе:
\[
Q = \Delta U \quad \text{(так как работа равна 0, поскольку }V=const)
\]
где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа.
Для идеального газа:
\[
\Delta U = n C_v \Delta T
\]
Шаг 5. Выяснить \( C_v \) и связать изменение давления и температуры
Для идеального диatomic газа (например, СО — диatomic генерично):
\[
C_v = \frac{5}{2} R \approx 20,78\, \text{Дж/моль·К}
\]
Рассчитаем изменение давления:
\[
P_2 = P_1 + \Delta P
\]
Т.к. начальное давление \(P_1\) неизвестно, выразим \(\Delta T\) через изменение давления, используя уравнение состояния:
\[
P = \frac{n R T}{V}
\]
Поскольку объём постоянен,
\[
\frac{P_2}{T_2} = \frac{P_1}{T_1}
\]
Изменение давления вызывает изменение температуры:
\[
\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}
\]
Т.к. \( P_2 = P_1 + \Delta P\), получить абсолютное значение невозможно без начального давления, однако, можем принять, что давление увеличилось с \(P_1\) до \(P_2\), и в целом,
\[ \Delta T = T_2 - T_1 = \frac{P_2}{P_1} T_1 - T_1 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} - 1 \right) \]
Шаг 6. Найти переменную T из давления
Даже без начального давления, можно предположить, что абсолютное значение начальной температуры — условно, например, стандартное атмосферное или указать, что информацию необходимо уточнить. Для упрощения решим, что начальное давление \(P_1\) равно атмосферному (например, 0,1 МПа), тогда
\[ P_1 = 0,1\,\text{МПа} = 10^5\,\text{Па} \] \[ P_2 = P_1 + 4,786 \times 10^6\,\text{Па} \approx 4,886 \times 10^6\,\text{Па} \]
Соответственно,
\[ \frac{P_2}{P_1} \approx \frac{4,886 \times 10^6}{1 \times 10^5} \approx 48,86 \]
Теперь, из уравнения состояния:
\[ T_2 = T_1 \times 48,86 \]
Если предположить начальную температуру около 300 К,
\[ T_2 \approx 300 \times 48,86 \approx 14658\, \text{К} \]
Это очень высокая температура, модель приблизительная, так как в реальности она невозможна, но для целей учебной задачи — можно считать.
Шаг 7. Вычислить \(\Delta U\)
\[ \Delta U = n C_v (T_2 - T_1) \]
\[ \Delta U = 8 \times 20,78\, \text{Дж/моль·К} \times (14658 - 300)\, \text{К} \]
\[ \Delta U \approx 8 \times 20,78 \times 14358 \approx 8 \times 20,78 \times 14358 \approx 8 \times 298193 \approx 2\,385\,544\, \text{Дж} \]
или примерно 2385 кДж.
Итог:
Количество теплоты:
\[ Q \approx \Delta U \approx \boxed{2385\, \text{kJ}} \]Объем газа при начальных условиях:
\[ V = \frac{n R T_1}{P_1} \]
При \(T_1 = 300\, \text{К}\), начальном давлении \(P_1=10^5\,\text{Па}\):
\[ V = \frac{8 \times 8,314 \times 300}{10^5} \approx \frac{19955}{100000} \approx 0,199\, \text{м}^3 \]
или 199,5 литров.
Ответ:
Количество теплоты \(Q \approx 2385\, \text{kДж}\),
Объем газа \(V \approx 200\,\textл\).
Если требуют точных значений, необходимо знать начальные параметры давления и температуры. В данном случае сделаны разумные предположения для учебных целей.
