Рассмотрим каждую задачу по порядку с пошаговым решением.
Задача 1.
Определите силу взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода, если расстояние между ними равно 0,5 ・ 10–8 см.
Дано:
- Заряд электрона, ( q_e = -1,6 \times 10^{-19} , C )
- Заряд ядра водорода (протона), ( q_p = +1,6 \times 10^{-19} , C )
- Расстояние, ( r = 0,5 \times 10^{-8} , см = 0,5 \times 10^{-10} , м )
Формула:
[ F = \frac{k,|q_1,q_2|}{r^2} ]
где (k = 9 \times 10^9 , \mathrm{Н·м^2/C^2}).
Расчет:
[
F = \frac{9 \times 10^9 \times (1,6 \times 10^{-19})^2}{(0,5 \times 10^{-10})^2}
]
[
F = \frac{9 \times 10^9 \times 2,56 \times 10^{-38}}{2,5 \times 10^{-21}}
= \frac{2,304 \times 10^{-28}}{2,5 \times 10^{-21}}
]
[
F \approx 9,216 \times 10^{-8} , \mathrm{Н}
]
Ответ: приблизительно ( 9,2 \times 10^{-8} , \mathrm{Н} ).
Задача 2.
С какой силой взаимодействовали бы две капли воды на расстоянии 1 км, если бы удалось передать одной из капель 1% всех электронов, содержащихся в другой капле массой 0,03 г?
Дано:
Расстояние, ( r = 1, \км = 10^3, м )
Масса капли, ( m = 0,03, г = 3 \times 10^{-5}, кг )
Количество электронов в капле:
Пусть в веществе есть число Авогадро, ( N_A \approx 6,022 \times 10^{23} ).
Молярная масса воды = 18 г/моль, число молекул в 0,03 г:
[ n_{molec} = \frac{0,03, г}{18, г/моль} \approx 1,67 \times 10^{-3} , моль ]
Кол-во молекул:
[
N_{mol} = 1,67 \times 10^{-3} \times 6,022 \times 10^{23} \approx 1,0 \times 10^{21}
]
В каждой молекуле обычно 10 электронов (например, H2O: 10 электронов на молекулу).
Тогда всего электронов:
[
N_e \approx 1,0 \times 10^{22}
]
Передача 1% электронов:
[
N_{transmitted} = 0,01 \times N_e = 1,0 \times 10^{20}
]
Масса переданных электронов:
Масса одного электрона ( m_e = 9,1 \times 10^{-31}, кг ).
Общая масса переданных электронов:
[
m_{transmitted} = N_{transmitted} \times m_e \approx 1,0 \times 10^{20} \times 9,1 \times 10^{-31} = 9,1 \times 10^{-11}, кг
]
Предположим, что на обе капли влияет сила Ньютона через электростатические взаимодействия (пренебрегая массой, тогда по сути: всё равно, ligar или притягивание).
Заряд переданной части:
Электрон несет заряд ( q_e = -1,6 \times 10^{-19} , C ).
Общий заряд капли:
- Изначальный, предположим, что заряд равен нулю (что маловероят), или хотя бы он большой, однако для ориентировочной оценки возьмем, что у капли масса и заряд связаны, и заряд определится только переданными электронами.
Для идеи:
Передача количества электронов — это значит, что одна капля приобрела отрицательный заряд, равный ( Q \approx N_{transmitted} \times q_e ):
[
Q \approx 1,0 \times 10^{20} \times 1,6 \times 10^{-19} = 16, Кл
]
Итак, два заряда будут примерно (Q_1 = + ) и (Q_2 = -16, Кл).
Сила:
[
F = \frac{9 \times 10^9 \times (16)^2}{(10^3)^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 256}{10^6} = 9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^2 / 10^6
]
[
F \approx 2314, Н
]
Ответ: примерно 2300 Н (сильное взаимодействие на большом расстоянии).
Задача 3.
Два одинаковых шарика с зарядами ( 9 \times 10^{-9} , Кл ) и ( -2 \times 10^{-9} , Кл ), на расстоянии 40 см. После соприкосновения и раздвижения вновь — определить силы взаимодействия.
Дано:
[ r = 0,4, м ]
- Заряд 1: ( q_1 = 9 \times 10^{-9}, Кл )
- Заряд 2: ( q_2 = -2 \times 10^{-9}, Кл )
Перед соприкосновением:
[
F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 9 \times 10^{-9} \times 2 \times 10^{-9}}{(0,4)^2}
= \frac{9 \times 10^9 \times 18 \times 10^{-18}}{0,16}
]
[
F_1 = \frac{162 \times 10^{-9}}{0,16} \approx 1,0125 \times 10^{-6}, \mathrm{Н}
]
После соприкосновения:
Заряда при соприкосновении у одинаковых шариков:
- Заряды равны, между ними — через некоторое время — обмен электронами до равномерного распределения заряда.
- Общий заряд:
[
Q_{total} = 9 \times 10^{-9} - 2 \times 10^{-9} = 7 \times 10^{-9}, Кл
]
- После обмена оба шарика получат одинаковый заряд:
[
q_{new} = \frac{Q_{total}}{2} = 3.5 \times 10^{-9}, Кл
]
Сила после:
[
F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.5 \times 10^{-9})^2}{(0,4)^2}
= \frac{9 \times 10^9 \times 12,25 \times 10^{-18}}{0,16}
]
[
F_2 \approx \frac{110,25 \times 10^{-9}}{0,16} \approx 0,689 \times 10^{-6} , \mathrm{Н}
]
Ответ:
- До: около ( 1,01 \times 10^{-6} ) Н,
- После: около ( 0,69 \times 10^{-6} ) Н.
Задача 4.
Два точечных заряда ( 1,0 \times 10^{-8} , Кл ) и ( 2,0 \times 10^{-8} , Кл ), расположены на расстоянии 1 м. На середине — заряд ( -3 \times 10^{-9} , Кл ). Определить силу и направление.
Дано:
- Заряды ( q_1 = 10^{-8} , Кл ), ( q_2 = 2 \times 10^{-8} , Кл )
- Расстояние между ними ( r = 1, м )
- Заряд ( q_0 = -3 \times 10^{-9} , Кл ) — посередине (на 0,5 м от каждого).
Расчет силы на заряд ( q_0 ):
Силы, действующие на ( q_0 ):
[
F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times |q_1 \times q_0|}{(0,5)^2}
]
[
F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times |q_2 \times q_0|}{(0,5)^2}
]
или, так как одинаковое расстояние и одинаковое деление, найдем их отдельно:
[
F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^{-9}}{0,25} = \frac{9 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-17}}{0,25}
]
[
F_1 = \frac{27 \times 10^{-8}}{0,25} = 108 \times 10^{-8} = 1,08 \times 10^{-6} \text{ Н}
]
[
F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^{-9}}{0,25}
= \frac{9 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-17}}{0,25} = \frac{54 \times 10^{-8}}{0,25} = 216 \times 10^{-8} = 2,16 \times 10^{-6} \text{ Н}
]
Векторы действуют по линии соединения —
- ( q_1 ) положительный, притягивает ( q_0 ) (слева или справа, зависит от направления).
- ( q_2 ) — тоже притягивает ( q_0 ) (так как заряд отрицательный).
Общая сила — сумма векторов, направленных по линии.
Ответ: модуль приблизительно ( 3,2 \times 10^{-6} , \mathrm{Н} ), сила направлена в сторону, соединяющую ( q_0 ) с положительным зарядом (учитывая знаки зарядов).
Задача 5.
Два одинаковых шарика, подвешенные в масле (диэлектрическая проницаемость ( e=2,2 )), с зарядами ( 9 \times 10^{-6} , Кл ), разошлись на 60°, длина нити 1 м, определить массу шариков.
Дано:
- Заряды: ( q = 9 \times 10^{-6} , Кл )
- Угол раздвижения: ( 60^\circ )
- Длина нити: ( l=1, м )
Рассмотрим силу электростатическую и силу тяжести:
В масле электромагнитная сила уменьшена в ( e ) раз:
[
F_{электр} = \frac{k,q^2}{(l \sin 30^\circ)^2} \quad \text{(с учётом того, что угол 60°, сила равна} , T \sin 60^\circ \text{)}.
]
Разворачиваем:
- В равновесии: электромагнитная сила уравновешивает компоненту силы тяжести,
- По сути:
[
F_{электр} = m g \tan 30^\circ
]
учитывая, что в масле сила действует так:
[
F_{электр} = \frac{k,q^2}{d^2}
]
где ( d = 2 l \sin 30^\circ = 1, м ),
[
F_{электр} = \frac{9 \times 10^9 \times (9 \times 10^{-6})^2}{1^2} = 9 \times 10^9 \times 81 \times 10^{-12} = 729 \times 10^{-3} = 0,729, \text{Н}
]
Эта сила с учетом диэлектрической проницаемости (увеличивается в ( e )):
[
F'{электр} = e \times F{электр} = 2,2 \times 0,729 \approx 1,602, \text{Н}
]
Теперь, сила тяжести (в масле):
[
F_g = m g \approx m \times 9,8, \text{м/с}^2
]
Знак ( \tan 30^\circ = 1/\sqrt{3} ).
Следовательно:
[
m \times 9,8 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1,602
]
[
m = \frac{1,602 \times \sqrt{3}}{9,8} \approx \frac{1,602 \times 1,732}{9,8} \approx \frac{2,775}{9,8} \approx 0,283, \text{г}
]
Ответ: масса каждого шарика около 0,28 г.
Если нужно, можно детальнее проработать каждый пункт, задать дополнительные уточнения.
