46) (А. Куканова) Рассматривается множество целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [- 7018; -3790], которые удовлетворяют следующим условиям: - кратны 6, но не кратны 7 и 19; - последняя цифра отлична от 2. Найдите количество таких чисел и минимальное из них.

Давайте разберём задачу по частям и решим её пошагово. Информация, которую нужно учесть: - Множество целых чисел на промежутке \([-7018; -3790]\) - Числа, которые: 1. кратны 6 2. не кратны 7 3. не кратны 19 4. последняя цифра не равна 2 Цель: найти количество таких чисел и минимальное из них. --- ### Шаг 1: Определим диапазон чисел Множество чисел — целые числа в диапазоне \([-7018; -3790]\). --- ### Шаг 2: Условие кратности 6 Число кратно 6, если делится на 6 без остатка. Критерий: \[ n \equiv 0 \ (\text{mod } 6) \] --- ### Шаг 3: Найдём все числа, кратные 6, в диапазоне Общий подход: найти минимальное и максимальное кратное 6 в диапазоне. - Наименьшее кратное 6, не меньшее \(-7018\): \[ \text{Находим } k:\quad 6k \geq -7018 \] \[ k \geq \frac{-7018}{6} \approx -1169.666... \] Значит, \(k \geq -1169\). Проверим: \[ 6 \times -1169 = -7014 \] Следующее кратное: \[ 6 \times -1170 = -7020 \] Оно меньше \(-7018\), значит, кратное 6, не меньшее \(-7018\), будет \(-7014\). - Аналогично для верхней границы \(-3790\): \[ 6k \leq -3790 \] \[ k \leq \frac{-3790}{6} \approx -631.66... \] Значит, \(k \leq -632\). Проверим: \[ 6 \times -632 = -3792 \] Это чуть меньше \(-3790\). Следующее: \[ 6 \times -631 = -3786 \] Это больше \(-3790\). Значит, кратное 6, не большее \(-3790\), — это \(-3792\). Итак, все кратные 6 в диапазоне: от \(-7014\) (минимальное) до \(-3792\) (максимальное). --- ### Шаг 4: Условие исключения — не кратны 7 и 19 Нам нужно исключить числа, кратные 7 или 19. Обозначим: - \(n\) — число, кратное 6, и оно: \[ n = 6k,\quad \text{где } k \text{ — целое,} \quad -1169 \leq k \leq -632 \] --- ### Шаг 5: Последняя цифра не равна 2 Число не должно заканчиваться на 2, то есть: \[ n \bmod 10 \neq 2 \] --- ### Шаг 6: Итоговая фильтрация #### а) Находим все \(k\): \[ k \in [-1169, -632] \] для каждого \(k\): \[ n = 6k \] Проверяем условия: - \(n \equiv 0 \pmod{6}\) — при этом уже выполняется. - \(n\) не кратен 7 и 19 - \(n\) не заканчивается на 2. --- ### Шаг 7: Условие, что \(n\) кратен 7 или 19 В первую очередь, запишем, при каких \(k\) это происходит: \[ n = 6k \] - \(n\) кратен 7 тогда и только тогда, когда \[ 6k \equiv 0 \pmod{7} \] - \(n\) кратен 19 тогда и тогда, когда \[ 6k \equiv 0 \pmod{19} \] --- ### Шаг 8: Условие кратности \(6k\) и делимости на 7 и 19 Пусть \(k\) — целое число. \[ n = 6k \] 1. \(6k\) кратен 7 \(\Rightarrow 6k \equiv 0 \pmod{7}\). Поскольку \(6 \equiv -1 \pmod{7}\): \[ -1 \cdot k \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow k \equiv 0 \pmod{7} \] 2. Аналогично для 19: \[ 6k \equiv 0 \pmod{19} \] Поскольку \(6\) и \(19\) взаимно просты (\(\gcd(6, 19) = 1\)), можно делить обе части на 6 (распространяется, чтобы получить \(k \equiv 0 \pmod{19}\)): \[ k \equiv 0 \pmod{19} \] Общий делитель: - \(k \equiv 0 \pmod{7}\) и \(k \equiv 0 \pmod{19}\) — значит: \[ k \equiv 0 \pmod{\mathrm{НОД}(7,19)} = \pmod{133} \] Поскольку 7 и 19 — взаимно простые, то: \[ k \equiv 0 \pmod{7 \times 19} = 133 \] Тогда числа, кратные 7 или 19, соответствуют: - Когда \(k \equiv 0 \pmod{7}\), или - Когда \(k \equiv 0 \pmod{19}\). Но мы исключаем эти \(k\). --- ### Шаг 9: Исключаем \(k\) кратные 7 или 19 Общие возможные \(k\): \[ k \in [-1169, -632] \] Исключаем те, которые: \[ k \equiv 0 \pmod{7} \] или \[ k \equiv 0 \pmod{19} \] Рассмотрим, как исключить эти значения и оставить только те, что не делятся на 7 и 19. --- ### Шаг 10: Проверка последней цифры числа \(n=6k\) Порядок: \[ n \equiv 0 \pmod{6} \] \[ n \bmod 10 \neq 2 \] Рассмотрим возможные цифры: Обозначим \(k\), найдем \(n=6k\), и найдем последний знак. Так как последний знак — остаток при делении на 10: \[ 6k \bmod 10 \] Рассмотрим \(k \bmod 10\): - Если \(k \bmod 10 = a\), тогда \[ 6k \equiv 6 \times a \pmod{10} \] Подставим \(a = 0, 1, 2, \ldots, 9\): | \(a\) | \(6a \bmod 10\) | Значение | |---------|--------------|-----------| | 0 | 0 | 0 | | 1 | 6 | 6 | | 2 | 2 | 2 | | 3 | 8 | 8 | | 4 | 4 | 4 | | 5 | 0 | 0 | | 6 | 6 | 6 | | 7 | 2 | 2 | | 8 | 8 | 8 | | 9 | 4 | 4 | Нам нужно, чтобы последний символ не равен 2, то есть: \[ 6k \bmod 10 \neq 2 \] Из таблицы это исключает \(a = 2\) и \(a=7\). Следовательно, \(k \bmod 10 \neq 2, 7\). --- ### Итог: Способы выбрать \(k\) \[ k \in [-1169; -632], \quad \text{и} \quad k \not\equiv 0 \pmod{7}, \quad k \not\equiv 0 \pmod{19} \] и \[ k \bmod 10 \neq 2, 7 \] --- ### Шаг 11: Поиск минимального и количества таких чисел --- #### Находим минимальное \(k\), удовлетворяющее условиям. - Минимальное \(k\) — это первый элемент в диапазоне: \[ k = -1169 \] Проверим: \[ -1169 \bmod 7 \] \[ -1169 \div 7 \Rightarrow 7 \times (-167) = -1169 \] То есть, \[ -1169 \equiv 0 \pmod{7} \] Значит, этот \(k\) кратен 7, исключается. Следующий \(k\): \[ k=-1168 \] Проверяем: \[ -1168 \div 7 \approx -166.85 \] \[ -1168 \bmod 7: \quad 7 \times -167 = -1169, \quad -1168 - (-1169) = 1 \] \[ -1168 \equiv 1 \pmod{7} \] Это — не делитель 7, отлично. Проверим делимость на 19: \[ -1168 \div 19 \approx -61.47 \] \[ 19 \times -62 = -1178 \] \[ -1168 - (-1178) = 10 \] \[ -1168 \equiv 10 \pmod{19} \] Не делитcя на 19. Хорошо. Проверка последней цифры: \[ -1168 \bmod 10 \] \[ -1168 \equiv 2 \pmod{10} \] не подходит (последняя цифра 2), исключается. Следующий \(k\): \[ k=-1167 \] Проверка: \[ -1167 \bmod 7 \] \[ 7 \times -167 = -1169 \] \[ -1167 - (-1169) = 2 \] \[ \Rightarrow -1167 \equiv 2 \pmod{7} \] не делитcя на 7. Проверка на 19: \[ -1167 \div 19 \approx -61.42 \] \[ 19 \times -62 = -1178 \] \[ -1167 - (-1178) = 11 \] \[ \Rightarrow -1167 \equiv 11 \pmod{19} \] не делится на 19. Последняя цифра: \[ -1167 \bmod 10 = 3 \] так как \( -1167 \equiv 3 \pmod{10} \neq 2 \), подходит. Итак, первый подходящий \(k\): \[ k = -1167 \] Теперь найдём соответствующее число: \[ n = 6 \times (-1167) = -7002 \] Это — минимальное число, удовлетворяющее условиям. --- ### Шаг 12: Подсчёт количества подходящих чисел Теперь определим все такие \(k\): - \(k\) — целое, в диапазоне \([-1169, -632]\) - \(k \not\equiv 0 \pmod{7}\), и \(k \not\equiv 0 \pmod{19}\), - \(k \bmod 10 \neq 2, 7\). --- #### Как посчитать количество подходящих \(k\): 1. Общее количество \(k\) в диапазоне: \[ \text{Общее} = (-632) - (-1169) + 1 = 538 \] 2. Количество, кратных 7: Кратное 7: \[ k \equiv 0 \pmod{7} \] числа \(k\) в диапазоне: - Наименьшее кратное 7 \(\geq -1169\): \[ -1169 \div 7 = -167 \quad (\text{целое}, \text{так как } 7 \times -167 = -1169) \] - Наибольшее кратное 7 \(\leq -632\): \[ -632 \div 7 \approx -90.28 \] Значит, ближайшее кратное \(-636\): \[ 7 \times -91= -637 \] \[ 7 \times -90= -630 \] \[ -637 \leq k \leq -632 \] Но так как диапазон \(k\) от \(-1169\) до \(-632\), руководствуемся: - Множество кратных 7 — это числа \(k\): \[ k = 7m \] где \(m\) — целое. - Наименьшее \(m\): \[ 7m \geq -1169 \Rightarrow m \geq -167 \] - Наибольшее \(m\): \[ 7m \leq -632 \Rightarrow m \leq -90 \] - Количество таких \(m\): \[ -90 - (-167) + 1 = 78 \] Значит, кратных 7 — 78 чисел. Аналогично для кратных 19: - наименьшее \(k\): \[ k \equiv 0 \pmod{19} \] \[ k \geq -1169 \] \[ -1169 \div 19 \approx -61.52 \] \[ m \geq -61 \] - наибольшее: \[ -632 \div 19 \approx -33.26 \] \[ m \leq -33 \] - количество: \[ -33 - (-61) + 1 = 29 \] --- #### Пересечения: - числа кратные 7 и 19 одновременно: равносильно числами, кратными их НОК: \(7 \times 19=133\): Наименьшее \(k\): \[ k = 133m \] - \(133m \geq -1169\): \[ m \geq -8.78 \] \[ m \geq -8 \] - \(133m \leq -632\): \[ m \leq -4.75 \] - целые \(m\): \[ -8 \leq m \leq -5 \] Количество: \[ -5 - (-8) + 1 = 4 \] --- ### **Общий подсчёт по исключениям:** - Всего \(k\): 538 - Исключаем \(k\), кратные 7: 78 - Исключаем \(k\), кратные 19: 29 - Нужно добавить обратно количество \(k\), которые кратны 133 (под отниманием и добавлением по принципу включений-исключений): \[ \text{Общее исключение} = 78 + 29 - 4 = 103 \] Общее количество \(k\), которые **не делятся** на 7 или 19: \[ 538 - 103 = 435 \] --- ### **Учет последней цифры:** Только \(k\), где \(k \bmod 10 \neq 2\) и \(k \bmod 10 \neq 7\). Это условие сужает множество — нужно исключить \(k\), которые по последней цифре равны 2 или 7. В диапазоне \([-1169; -632]\): - Найдём количество таких \(k\). Общее количество \(k\): \[ 538 \] - Числа, оканчивающиеся на 2: \[ k \equiv 2 \pmod{10} \] - Аналогично — на 7: \[ k \equiv 7 \pmod{10} \] --- Проход по диапазону: - Первое число \(k \equiv 2 \pmod{10}\): найти первое \(k \geq -1169\): \[ -1169 \bmod 10 = 1 \] Чтобы получить остаток 2, прибавляем 1: \[ k = -1169 + (2 -1) = -1168 \] Проверка: \[ -1168 \bmod 10 = 2 \] Проверим: - Следующее число с остатком 2: \[ k = -1168 + 10 = -1158 \] и так далее, пока \(k \leq -632\). - Аналогично для 7: \[ k \equiv 7 \pmod{10} \] начинается с \(-1163\): \[ -1163 \bmod 10 = 7 \] наименьшее \(k\): \[ k = -1163 \] следующие: \[ -1163 + 10 = -1153, \quad -1143, \quad \ldots \] Посчитаем количество: Общее количество чисел с остатками 2 или 7 в диапазоне. Подсчитаем: - Количество чисел \(k\) между \(-1169\) и \(-632\), у которых \(k \bmod 10 = 2\): \[ \text{считая от } -1168, \quad \text{до } \leq -632 \] число: \[ \frac{-632 -(-1168)}{10} + 1 = \frac{536}{10} + 1 = 53.6 + 1 \approx 54 \] - Аналогично для \(k \bmod 10=7\), начинается с \(-1163\): \[ \frac{-632 -(-1163)}{10} + 1 = \frac{531}{10} + 1 = 53.1 + 1 \approx 54 \] Итоговая сумма: \[ 54 + 54 = 108 \] Общее количество \(k\), у которых \к \bmod 10 = 2 или 7, равно 108. --- ### **Итог:** - Общее число \(k\), удовлетворяющих условиям: \[ 435 - 108 = 327 \] --- ### **Ответ:** 1. **Минимальное число:** \[ k = -1167 \implies n = 6 \times (-1167) = -7002 \] 2. **Количество таких чисел:** \[ \boxed{327} \] --- **Итак:** **Минимальное число:** \(-7002\) **Количество чисел:** 327 --- Если нужны дополнительные пояснения — обращайтесь!