46) (А. Куканова) Рассматривается множество целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [- 7018; -3790], которые удовлетворяют следующим условиям: - кратны 6, но не кратны 7 и…
46) (А. Куканова) Рассматривается множество целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [- 7018; -3790], которые удовлетворяют следующим условиям: - кратны 6, но не кратны 7 и 19; - последняя цифра отлична от 2. Найдите количество таких чисел и минимальное из них.
Давайте разберём задачу по частям и решим её пошагово. Информация, которую нужно учесть:
- Множество целых чисел на промежутке \([-7018; -3790]\)
- Числа, которые:
- кратны 6
- не кратны 7
- не кратны 19
- последняя цифра не равна 2
Цель: найти количество таких чисел и минимальное из них.
Шаг 1: Определим диапазон чисел
Множество чисел — целые числа в диапазоне \([-7018; -3790]\).
Шаг 2: Условие кратности 6
Число кратно 6, если делится на 6 без остатка.
Критерий:
\[ n \equiv 0 \ (\text{mod } 6) \]
Шаг 3: Найдём все числа, кратные 6, в диапазоне
Общий подход: найти минимальное и максимальное кратное 6 в диапазоне.
Наименьшее кратное 6, не меньшее \(-7018\):
\[ \text{Находим } k:\quad 6k \geq -7018 \]
\[ k \geq \frac{-7018}{6} \approx -1169.666... \]
Значит, \(k \geq -1169\). Проверим:
\[ 6 \times -1169 = -7014 \]
Следующее кратное:
\[ 6 \times -1170 = -7020 \]
Оно меньше \(-7018\), значит, кратное 6, не меньшее \(-7018\), будет \(-7014\).
Аналогично для верхней границы \(-3790\):
\[ 6k \leq -3790 \]
\[ k \leq \frac{-3790}{6} \approx -631.66... \]
Значит, \(k \leq -632\). Проверим:
\[ 6 \times -632 = -3792 \]
Это чуть меньше \(-3790\). Следующее:
\[ 6 \times -631 = -3786 \]
Это больше \(-3790\). Значит, кратное 6, не большее \(-3790\), — это \(-3792\).
Итак, все кратные 6 в диапазоне: от \(-7014\) (минимальное) до \(-3792\) (максимальное).
Шаг 4: Условие исключения — не кратны 7 и 19
Нам нужно исключить числа, кратные 7 или 19.
Обозначим:
\(n\) — число, кратное 6, и оно:
\[ n = 6k,\quad \text{где } k \text{ — целое,} \quad -1169 \leq k \leq -632 \]
Шаг 5: Последняя цифра не равна 2
Число не должно заканчиваться на 2, то есть:
\[ n \bmod 10 \neq 2 \]
Шаг 6: Итоговая фильтрация
а) Находим все \(k\):
\[ k \in [-1169, -632] \]
для каждого \(k\):
\[ n = 6k \]
Проверяем условия:
- \(n \equiv 0 \pmod{6}\) — при этом уже выполняется.
- \(n\) не кратен 7 и 19
- \(n\) не заканчивается на 2.
Шаг 7: Условие, что \(n\) кратен 7 или 19
В первую очередь, запишем, при каких \(k\) это происходит:
\[ n = 6k \]
- \(n\) кратен 7 тогда и только тогда, когда
\[ 6k \equiv 0 \pmod{7} \]
- \(n\) кратен 19 тогда и тогда, когда
\[ 6k \equiv 0 \pmod{19} \]
Шаг 8: Условие кратности \(6k\) и делимости на 7 и 19
Пусть \(k\) — целое число.
\[ n = 6k \]
- \(6k\) кратен 7 \(\Rightarrow 6k \equiv 0 \pmod{7}\).
Поскольку \(6 \equiv -1 \pmod{7}\):
\[ -1 \cdot k \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow k \equiv 0 \pmod{7} \]
- Аналогично для 19:
\[ 6k \equiv 0 \pmod{19} \]
Поскольку \(6\) и \(19\) взаимно просты (\(\gcd(6, 19) = 1\)), можно делить обе части на 6 (распространяется, чтобы получить \(k \equiv 0 \pmod{19}\)):
\[ k \equiv 0 \pmod{19} \]
Общий делитель:
- \(k \equiv 0 \pmod{7}\) и \(k \equiv 0 \pmod{19}\)
— значит:
\[ k \equiv 0 \pmod{\mathrm{НОД}(7,19)} = \pmod{133} \]
Поскольку 7 и 19 — взаимно простые, то:
\[ k \equiv 0 \pmod{7 \times 19} = 133 \]
Тогда числа, кратные 7 или 19, соответствуют:
- Когда \(k \equiv 0 \pmod{7}\), или
- Когда \(k \equiv 0 \pmod{19}\).
Но мы исключаем эти \(k\).
Шаг 9: Исключаем \(k\) кратные 7 или 19
Общие возможные \(k\):
\[ k \in [-1169, -632] \]
Исключаем те, которые:
\[ k \equiv 0 \pmod{7} \]
или
\[ k \equiv 0 \pmod{19} \]
Рассмотрим, как исключить эти значения и оставить только те, что не делятся на 7 и 19.
Шаг 10: Проверка последней цифры числа \(n=6k\)
Порядок:
\[ n \equiv 0 \pmod{6} \] \[ n \bmod 10 \neq 2 \]
Рассмотрим возможные цифры:
Обозначим \(k\), найдем \(n=6k\), и найдем последний знак.
Так как последний знак — остаток при делении на 10:
\[ 6k \bmod 10 \]
Рассмотрим \(k \bmod 10\):
- Если \(k \bmod 10 = a\), тогда
\[ 6k \equiv 6 \times a \pmod{10} \]
Подставим \(a = 0, 1, 2, \ldots, 9\):
| \(a\) | \(6a \bmod 10\) | Значение |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 6 | 6 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 8 | 8 |
| 4 | 4 | 4 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 6 | 6 |
| 7 | 2 | 2 |
| 8 | 8 | 8 |
| 9 | 4 | 4 |
Нам нужно, чтобы последний символ не равен 2, то есть:
\[ 6k \bmod 10 \neq 2 \]
Из таблицы это исключает \(a = 2\) и \(a=7\).
Следовательно, \(k \bmod 10 \neq 2, 7\).
Итог: Способы выбрать \(k\)
\[ k \in [-1169; -632], \quad \text{и} \quad k \not\equiv 0 \pmod{7}, \quad k \not\equiv 0 \pmod{19} \]
и
\[ k \bmod 10 \neq 2, 7 \]
Шаг 11: Поиск минимального и количества таких чисел
Находим минимальное \(k\), удовлетворяющее условиям.
- Минимальное \(k\) — это первый элемент в диапазоне:
\[ k = -1169 \]
Проверим:
\[ -1169 \bmod 7 \]
\[ -1169 \div 7 \Rightarrow 7 \times (-167) = -1169 \]
То есть,
\[ -1169 \equiv 0 \pmod{7} \]
Значит, этот \(k\) кратен 7, исключается.
Следующий \(k\):
\[ k=-1168 \]
Проверяем:
\[ -1168 \div 7 \approx -166.85 \]
\[ -1168 \bmod 7: \quad 7 \times -167 = -1169, \quad -1168 - (-1169) = 1 \]
\[ -1168 \equiv 1 \pmod{7} \]
Это — не делитель 7, отлично.
Проверим делимость на 19:
\[ -1168 \div 19 \approx -61.47 \]
\[ 19 \times -62 = -1178 \] \[ -1168 - (-1178) = 10 \]
\[ -1168 \equiv 10 \pmod{19} \]
Не делитcя на 19. Хорошо.
Проверка последней цифры:
\[ -1168 \bmod 10 \]
\[ -1168 \equiv 2 \pmod{10} \]
не подходит (последняя цифра 2), исключается.
Следующий \(k\):
\[ k=-1167 \]
Проверка:
\[ -1167 \bmod 7 \] \[ 7 \times -167 = -1169 \] \[ -1167 - (-1169) = 2 \] \[ \Rightarrow -1167 \equiv 2 \pmod{7} \]
не делитcя на 7.
Проверка на 19:
\[ -1167 \div 19 \approx -61.42 \] \[ 19 \times -62 = -1178 \] \[ -1167 - (-1178) = 11 \] \[ \Rightarrow -1167 \equiv 11 \pmod{19} \]
не делится на 19.
Последняя цифра:
\[ -1167 \bmod 10 = 3 \]
так как \( -1167 \equiv 3 \pmod{10} \neq 2 \), подходит.
Итак, первый подходящий \(k\):
\[ k = -1167 \]
Теперь найдём соответствующее число:
\[ n = 6 \times (-1167) = -7002 \]
Это — минимальное число, удовлетворяющее условиям.
Шаг 12: Подсчёт количества подходящих чисел
Теперь определим все такие \(k\):
- \(k\) — целое, в диапазоне \([-1169, -632]\)
- \(k \not\equiv 0 \pmod{7}\), и \(k \not\equiv 0 \pmod{19}\),
- \(k \bmod 10 \neq 2, 7\).
Как посчитать количество подходящих \(k\):
- Общее количество \(k\) в диапазоне:
\[ \text{Общее} = (-632) - (-1169) + 1 = 538 \]
- Количество, кратных 7:
Кратное 7:
\[ k \equiv 0 \pmod{7} \]
числа \(k\) в диапазоне:
- Наименьшее кратное 7 \(\geq -1169\):
\[ -1169 \div 7 = -167 \quad (\text{целое}, \text{так как } 7 \times -167 = -1169) \]
- Наибольшее кратное 7 \(\leq -632\):
\[ -632 \div 7 \approx -90.28 \]
Значит, ближайшее кратное \(-636\):
\[ 7 \times -91= -637 \] \[ 7 \times -90= -630 \]
\[ -637 \leq k \leq -632 \]
Но так как диапазон \(k\) от \(-1169\) до \(-632\), руководствуемся:
- Множество кратных 7 — это числа \(k\):
\[ k = 7m \]
где \(m\) — целое.
- Наименьшее \(m\):
\[ 7m \geq -1169 \Rightarrow m \geq -167 \]
- Наибольшее \(m\):
\[ 7m \leq -632 \Rightarrow m \leq -90 \]
- Количество таких \(m\):
\[ -90 - (-167) + 1 = 78 \]
Значит, кратных 7 — 78 чисел.
Аналогично для кратных 19:
- наименьшее \(k\):
\[ k \equiv 0 \pmod{19} \] \[ k \geq -1169 \] \[ -1169 \div 19 \approx -61.52 \] \[ m \geq -61 \]
- наибольшее:
\[ -632 \div 19 \approx -33.26 \]
\[ m \leq -33 \]
- количество:
\[ -33 - (-61) + 1 = 29 \]
Пересечения:
- числа кратные 7 и 19 одновременно:
равносильно числами, кратными их НОК: \(7 \times 19=133\):
Наименьшее \(k\):
\[ k = 133m \]
- \(133m \geq -1169\):
\[ m \geq -8.78 \] \[ m \geq -8 \]
- \(133m \leq -632\):
\[ m \leq -4.75 \]
- целые \(m\):
\[ -8 \leq m \leq -5 \]
Количество:
\[ -5 - (-8) + 1 = 4 \]
Общий подсчёт по исключениям:
- Всего \(k\): 538
- Исключаем \(k\), кратные 7: 78
- Исключаем \(k\), кратные 19: 29
- Нужно добавить обратно количество \(k\), которые кратны 133 (под отниманием и добавлением по принципу включений-исключений):
\[ \text{Общее исключение} = 78 + 29 - 4 = 103 \]
Общее количество \(k\), которые не делятся на 7 или 19:
\[ 538 - 103 = 435 \]
Учет последней цифры:
Только \(k\), где \(k \bmod 10 \neq 2\) и \(k \bmod 10 \neq 7\).
Это условие сужает множество — нужно исключить \(k\), которые по последней цифре равны 2 или 7.
В диапазоне \([-1169; -632]\):
- Найдём количество таких \(k\).
Общее количество \(k\):
\[ 538 \]
- Числа, оканчивающиеся на 2:
\[ k \equiv 2 \pmod{10} \]
- Аналогично — на 7:
\[ k \equiv 7 \pmod{10} \]
Проход по диапазону:
- Первое число \(k \equiv 2 \pmod{10}\):
найти первое \(k \geq -1169\):
\[ -1169 \bmod 10 = 1 \]
Чтобы получить остаток 2, прибавляем 1:
\[ k = -1169 + (2 -1) = -1168 \]
Проверка:
\[ -1168 \bmod 10 = 2 \]
Проверим:
- Следующее число с остатком 2:
\[ k = -1168 + 10 = -1158 \]
и так далее, пока \(k \leq -632\).
- Аналогично для 7:
\[ k \equiv 7 \pmod{10} \]
начинается с \(-1163\):
\[ -1163 \bmod 10 = 7 \]
наименьшее \(k\):
\[ k = -1163 \]
следующие:
\[ -1163 + 10 = -1153, \quad -1143, \quad \ldots \]
Посчитаем количество:
Общее количество чисел с остатками 2 или 7 в диапазоне.
Подсчитаем:
- Количество чисел \(k\) между \(-1169\) и \(-632\), у которых \(k \bmod 10 = 2\):
\[ \text{считая от } -1168, \quad \text{до } \leq -632 \]
число:
\[ \frac{-632 -(-1168)}{10} + 1 = \frac{536}{10} + 1 = 53.6 + 1 \approx 54 \]
- Аналогично для \(k \bmod 10=7\), начинается с \(-1163\):
\[ \frac{-632 -(-1163)}{10} + 1 = \frac{531}{10} + 1 = 53.1 + 1 \approx 54 \]
Итоговая сумма:
\[ 54 + 54 = 108 \]
Общее количество \(k\), у которых \к \bmod 10 = 2 или 7, равно 108.
Итог:
- Общее число \(k\), удовлетворяющих условиям:
\[ 435 - 108 = 327 \]
Ответ:
- Минимальное число:
\[ k = -1167 \implies n = 6 \times (-1167) = -7002 \]
- Количество таких чисел:
\[ \boxed{327} \]
Итак:
Минимальное число: \(-7002\)
Количество чисел: 327
Если нужны дополнительные пояснения — обращайтесь!
